本页主线
这组练习只围绕课4的三个核心动作：第一，先判断为什么要分部积分；第二，说清为什么这样选 $u$ 与 $\mathrm{d}v$；第三，边界项必须单独代上限与下限，不能只写一个符号就结束。
先看结构
再定选元
边界项单独代值
新积分要更简单
组合题先换元再分部
专项训练
基础 1
单一对数函数
求 $\int_1^2 \ln x\,\mathrm{d}x$，并解释为什么这里要把 $\ln x$ 选成 $u$。
参考路径
- 取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$，$v=x$。
- 套用 $\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u$。
- 边界项写成 $[x\ln x]_1^2$，新积分变成 $\int_1^2 1\,\mathrm{d}x$。
- 结果为 $2\ln 2-1$。
基础 2
多项式乘指数函数
求 $\int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x$，并说明为什么让 $x$ 做 $u$ 会比让 $e^x$ 做 $u$ 更合适。
参考路径
- 取 $u=x$，$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=e^x$。
- 原式 $=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x$。
- 边界项是 $e$，新积分是 $e-1$，总结果为 $1$。
- 如果反向选元，新积分会几乎回到原题，不会变简单。
进阶 1
多项式乘三角函数
求 $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,\mathrm{d}x$，写清边界项为什么恰好为 $0$。
参考路径
- 取 $u=x$，$\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$，则 $v=-\cos x$。
- 原式 $=[-x\cos x]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x$。
- 上限项 $-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=0$，下限项 $0\cdot\cos 0=0$，所以边界项为 $0$。
- 最后结果为 $1$。
进阶 2
多项式与对数函数的组合
求 $\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x$，并解释“新积分为什么更简单”。
参考路径
- 取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$，$v=\frac{x^2}{2}$。
- 原式 $=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\frac12\int_1^e x\,\mathrm{d}x$。
- 边界项为 $\frac{e^2}{2}$，新积分是最基础的幂函数积分。
- 结果为 $\frac{e^2+1}{4}$。
组合题
先换元，再分部
求 $\int_0^1 \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$，并说明为什么不能直接分部。
参考路径
- 先设 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$。
- 原式化成 $2\int_0^1 \ln(1+t)\,\mathrm{d}t$。
- 再取 $u=\ln(1+t)$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}t$，做定积分分部。
- 结果为 $4\ln 2-2$。关键不是一上来分部，而是先把复合结构理顺。
教师抽问
二次分部的判断
对 $\int_0^{\pi} e^x\sin x\,\mathrm{d}x$，不用把所有运算写完，也要回答：为什么需要两次分部积分？第二次分部后为什么会重现原积分？
参考路径
- 指数函数与三角函数相乘，第一次分部后仍然会保留“指数乘三角”的结构。
- 第二次分部会把三角函数从 $\sin$ 变到 $\cos$ 再回到 $\sin$，从而重现原积分。
- 核心是“设出方程”，把重现的原积分移到同一边统一求解。