曲边梯形面积
求由 $y=x^2$、$x=0$、$x=1$ 与 $x$ 轴围成图形的面积。
参考路径
- 区域在 $x$ 轴上方，直接用“上减下”。
- 面积 $S=\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\frac13$。
- 这里定积分值就是面积值，因为函数在区间内不变号。
本页主线
课5练习不允许“先写公式再猜图形”。每题都按这个顺序走：先画区域，确认边界和交点；再判断是“上减下”还是“右减左”；最后看是否跨轴、是否要分段、是否是圆盘还是圆环。
先画区域
再列积分
跨轴要分段
面积恒正
体积先看半径
专项训练
两曲线围成面积
求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 围成图形的面积，并说明为什么是“上减下”。
参考路径
- 先比较两曲线：在 $0\le x\le 1$ 上，$x \ge x^2$。
- 面积 $S=\int_0^1 (x-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac16$。
- 如果顺序写反，会得到负值，那不是几何面积。
跨轴面积要分段
求 $y=\sin x$ 在区间 $[0,2\pi]$ 与 $x$ 轴围成图形的总面积。
参考路径
- $[0,\pi]$ 上 $\sin x\ge 0$，$[\pi,2\pi]$ 上 $\sin x\le 0$。
- 总面积 $S=\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x-\int_\pi^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$。
- 结果为 $4$。这里不能直接写 $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$，因为那得到的是代数面积。
以 y 为变量列面积
求曲线 $x=y^2$ 与直线 $x=y+2$ 围成图形的面积，要求用 $y$ 为积分变量。
参考路径
- 联立得 $y^2=y+2$，所以交点对应 $y=-1,2$。
- 在这一区间里，右边界是 $x=y+2$，左边界是 $x=y^2$。
- 面积 $S=\int_{-1}^{2}\big[(y+2)-y^2\big]\,\mathrm{d}y=\frac92$。
圆盘法
求由 $y=1-x^2$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积。
参考路径
- 交点为 $x=\pm1$，旋转半径是 $R=1-x^2$。
- 圆盘法公式：$V=\pi\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,\mathrm{d}x$。
- 结果为 $\frac{16\pi}{15}$。
圆环法
求由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 围成区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积，并解释谁是外半径、谁是内半径。
参考路径
- 在 $[0,1]$ 上，$x \ge x^2$，所以外半径 $R=x$，内半径 $r=x^2$。
- 体积 $V=\pi\int_0^1\big(R^2-r^2\big)\,\mathrm{d}x=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,\mathrm{d}x$。
- 结果为 $\frac{2\pi}{15}$。必须先平方再相减，因为截面面积来自圆面积差。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 画区域与交点 | 能先找交点、先判边界，再列积分。 | |
| 面积与代数面积 | 能说明何时要分段、何时要加绝对值。 | |
| 体积建模 | 能区分圆盘法与圆环法，并正确写出半径表达式。 |