右端无穷且收敛
判断并计算 $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}\,\mathrm{d}x$。
参考路径
- 先写成 $\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_0^b e^{-x}\,\mathrm{d}x$。
- 原函数为 $-e^{-x}$，所以部分积分值是 $1-e^{-b}$。
- 当 $b\to+\infty$ 时 $e^{-b}\to 0$，因此收敛，值为 $1$。
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广义积分题先不算，先看“哪里出问题”：是区间伸到无穷，还是函数在端点/内部无界。只有把问题点找对、极限写对、需要的分段拆对，后面的收敛和发散判断才不会乱。
先找问题点
先写极限
内部奇点必分段
先判敛散
收敛才求值
专项训练
右端无穷且发散
判断 $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 是否收敛，并说明理由。
参考路径
- 写成 $\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-1}\,\mathrm{d}x$。
- 原函数是 $\ln x$，所以结果变成 $\ln b$。
- $\ln b\to+\infty$，因此该广义积分发散。
端点瑕点且收敛
判断并计算 $\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$。
参考路径
- $x=0$ 是端点瑕点，所以先写成 $\displaystyle \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,\mathrm{d}x$。
- 原函数为 $2\sqrt{x}$。
- 极限值为 $2$，因此该广义积分收敛，值为 $2$。
内部奇点必须分段
判断 $\displaystyle \int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm{d}x$ 是否收敛，并说明为什么不能直接跨过 $x=1$。
参考路径
- $x=1$ 是区间内部奇点，所以必须拆成 $\displaystyle \int_0^1+\int_1^2$ 两段广义积分。
- 任取一段，如左段写成 $\displaystyle \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_0^{1-\varepsilon}\frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm{d}x$。
- 左段极限发散，因此整体发散。
收敛并求值
判断并计算 $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^4}\,\mathrm{d}x$。
参考路径
- 写成 $\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-4}\,\mathrm{d}x$。
- 原函数为 $\displaystyle -\frac{1}{3x^3}$。
- 极限值为 $\displaystyle \frac13$，所以收敛，值为 $\frac13$。
先分段再判断
判断 $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x$ 是否收敛，并说明哪一段导致结论成立。
参考路径
- 这道题同时有左端点瑕点和右端无穷，所以要按 $\displaystyle \int_0^1+\int_1^{+\infty}$ 分段。
- 左段收敛，右段 $\displaystyle \int_1^{+\infty}x^{-1/2}\,\mathrm{d}x$ 发散。
- 只要有一段发散，整体就发散。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 极限改写 | 先写成正确的极限对象，不把 $\infty$ 或瑕点直接代入原函数。 | |
| 分段处理 | 内部奇点或多问题点时，能主动拆段并说明理由。 | |
| 敛散结论 | 收敛题给值，发散题指出哪一段或哪一个极限发散。 |