先判板块
判断题目 $\displaystyle \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ 应归入哪一类，并说明为什么。
参考路径
- 这题属于“基本定理直接求值”。
- 先求原函数，再代上下限即可。
- 不需要换元、分部，也不是几何或广义积分。
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总复习专项练习先看“走哪条路”，再谈细节。每题先给自己一个判断标签：概念性质、基本定理、换元、分部、几何应用还是广义积分；然后再写规范步骤和错因提醒。
先分类
再选法
换元必换限
分部别漏边界项
广义积分先写极限
专项训练
换元题识别
用定积分换元法计算 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 x\sin x\,\mathrm{d}x$，并强调换限动作。
参考路径
- 令 $u=\cos x$，则 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$。
- 当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$。
- 原积分化为 $\displaystyle \int_0^1 u^3\,\mathrm{d}u=\frac14$。
分部积分题识别
计算 $\displaystyle \int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x$，并说明为什么边界项不能漏。
参考路径
- 这是分部积分：取 $u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$。
- 写成 $\displaystyle [x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,\mathrm{d}x$。
- 边界项给出第一部分数值，不能直接丢掉。
几何应用题识别
求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 围成图形的面积，并说明为什么是“上减下”。
参考路径
- 这是几何应用中的两曲线围成面积。
- 在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，所以用 $\displaystyle \int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x$。
- 几何面积必须为正，不能把顺序写反。
广义积分题识别
判断并计算 $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$。
参考路径
- 这是广义积分，先写成 $\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-2}\,\mathrm{d}x$。
- 原函数为 $-\frac1x$。
- 极限值为 $1$，所以收敛。
整章错因诊断
从“换元忘换限、分部漏边界项、面积写成代数面积、广义积分忘写极限”里任选 3 条，分别写出正确口令。
参考路径
- 换元题：变量一换，积分上下限跟着换。
- 分部题：$[uv]_a^b$ 单独先算，再看后面的新积分。
- 广义积分：先看问题点，先套极限壳，再判敛散。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 题型路由 | 能先判断题目属于哪一板块，再写对应方法。 | |
| 规范细节 | 换元题会换限，分部题不漏边界项，广义积分先写极限。 | |
| 错因回收 | 能用自己的话写出整章高频错误和修正口令。 |