是不是微分方程
判断 $\dfrac{dy}{dx}+y=0$ 是否为微分方程，并指出阶数。
参考路径
- 式中含有未知函数 $y$ 的导数 $\dfrac{dy}{dx}$。
- 最高阶导数是一阶导数。
- 因此它是一阶微分方程。
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课1专项练习先练“判别”，再练“解释”。先判断一个式子是不是微分方程、是几阶；再判断某个函数是不是解、通解或特解；最后把变化率场景写成“建立方程、补条件、定特解”的完整结构。
含导数才算
阶只看最高阶导数
通解含任意常数
初始条件定常数
先建方程再定特解
专项训练
高阶导数判断
判断 $\dfrac{d^4x}{dt^4}+2\dfrac{d^2x}{dt^2}+x=0$ 是否为微分方程，并指出阶数。
参考路径
- 式中含有未知函数 $x(t)$ 的导数，因此是微分方程。
- 出现的最高阶导数是 $\dfrac{d^4x}{dt^4}$。
- 因此它是四阶微分方程。
不是微分方程
判断 $y^2=2xy+x^2$ 是否为微分方程，并说明理由。
参考路径
- 式中只有 $x$ 与 $y$，没有出现 $y'$、$\dfrac{dy}{dx}$、$dy$ 等导数或微分。
- 微分方程必须含有未知函数的导数或微分。
- 因此它不是微分方程。
通解还是特解
验证 $y=Cx^2$ 与 $y=x^2$ 对方程 $xy'=2y$ 的身份：谁是通解，谁是特解？
参考路径
- 对 $y=Cx^2$ 求导得 $y'=2Cx$，代回原方程左右恒等。
- $y=Cx^2$ 含一个任意常数，因此是通解。
- $y=x^2$ 对应 $C=1$，所以它是通解中的一个特解。
初始条件定特解
已知 $\dfrac{dy}{dx}=2x$ 且 $y(1)=2$，求特解。
参考路径
- 先积分得通解 $y=x^2+C$。
- 代入条件 $y(1)=2$，得 $2=1+C$，所以 $C=1$。
- 特解为 $y=x^2+1$。
建模三步
某曲线上任意一点的切线斜率等于该点横坐标的平方，且曲线过原点 $(0,0)$。写出“建立方程 -> 补条件 -> 定特解”的三步。
参考路径
- 由切线斜率得微分方程 $y'=x^2$。
- 由过原点得初始条件 $y(0)=0$。
- 积分并代入条件，得特解 $y=\dfrac{x^3}{3}$。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 定义判断 | 能准确判断是否含有未知函数导数或微分，不把代数方程误判成微分方程。 | |
| 阶数判断 | 只看最高阶导数，不受幂次、系数或括号干扰。 | |
| 解的层级 | 能区分解、通解、特解，并说明初始条件的作用。 |