最基本的可分离变量
求 $\dfrac{dy}{dx}=xy$ 的通解。
参考路径
- 右端是 x 与 y 的乘积，属于可分离变量方程。
- 写成 $\dfrac{1}{y}dy = xdx$。
- 积分得 $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$，整理为 $y=Ce^{x^2/2}$。
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课2专项练习先练“识别”，再练“规范步骤”。如果题目能整理成“x 在一边、y 在一边”，就走可分离变量；如果右端只含 $y/x$，就先令 $u=y/x$，把题目化成可分离变量再积分。真正的难点通常不是积分，而是前两步识别和整理。
先识别结构
可分离先分离
齐次型先换元
回代 y = ux
别忘区间与特殊解
专项训练
微分形式中的分离
求 $dy=x(1+y^2)\,dx$ 的通解。
参考路径
- 整理成 $\dfrac{1}{1+y^2}dy = xdx$。
- 两边积分得 $\arctan y = \dfrac{x^2}{2} + C$。
- 所以通解可写为 $y=\tan\!\left(\dfrac{x^2}{2}+C\right)$。
先化简再分离
求 $xydx+(x+2)dy=0$ 的通解。
参考路径
- 改写成 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{xy}{x+2}$。
- 整理为 $\dfrac{1}{y}dy=-\dfrac{x}{x+2}dx$。
- 积分并整理，得到 $y=C(x+2)^2e^{-x}$。
不是可分离，而是齐次型
判断 $x\dfrac{dy}{dx}=x+y$ 应走哪条路线，并说明理由。
参考路径
- 整理为 $y'=1+\dfrac{y}{x}$。
- 右端只含 $y/x$，因此它不是直接可分离变量，而是齐次型。
- 应先令 $u=y/x$，再把题目化成可分离变量方程。
u = y/x 代换
求 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$ 的通解。
参考路径
- 右端可写成 $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$，只与 $y/x$ 有关，属于齐次型。
- 令 $u=y/x$，则 $y=ux$、$y'=u+xu'$。
- 代换后化成关于 u 与 x 的可分离变量方程，积分并回代，得 $y^2=x^2(2\ln|x|+C)$。
常见错误回收
从下面 4 条里任选 3 条，分别写出正确口令：① 没分清可分离和齐次型；② 分离后两边还混着 x、y；③ 换元后忘记回代；④ 忘记说明 $x\neq0$ 或特殊解。
参考路径
- 先看能否直接把 x 与 y 分开；不行再看是否只含 y/x。
- 换元题的规范是：令元 -> 代换 -> 分离 -> 积分 -> 回代。
- 带 $y/x$ 的齐次型题通常默认在 $x\neq0$ 的区间讨论。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 结构识别 | 能区分“直接可分离”和“需先令 u=y/x 的齐次型”。 | |
| 规范步骤 | 分离变量、积分、常数整理和齐次型回代完整。 | |
| 区间与错因 | 能说明 x≠0、特殊解或定义域前提，不把错误留到最后。 |