先化标准形式
把 $xy'+2y=x$ 化成标准形式，并判断它是齐次还是非齐次。
参考路径
- 先把 $y'$ 前面的系数除掉，得 $y'+\dfrac{2}{x}y=1$。
- 此时 $P(x)=\dfrac{2}{x}$，$Q(x)=1$。
- 因为 $Q(x)\neq 0$，所以它是非齐次一阶线性方程。
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课3专项练习先练“标准化”，再练“判公式”。一阶线性题最常见的错误不是积分，而是没有先把题目化成 $y'+P(x)y=Q(x)$，或者没有先看清 $Q(x)$ 是否为 0。训练时要把“标准形式 -> 判齐次/非齐次 -> 求积分因子 -> 写通解 -> 定特解”串成一条线。
标准形式先行
Q(x)=0?
积分因子
通解后代初值
区间别漏
专项训练
齐次还是非齐次
判断 $y'-3y=0$ 与 $(1+x)y'-y=x$ 各属于哪一类，并写出标准形式。
参考路径
- $y'-3y=0$ 已经是标准形式，$Q(x)=0$，属于齐次。
- $(1+x)y'-y=x$ 化成 $y'-\dfrac{1}{1+x}y=\dfrac{x}{1+x}$。
- 第二题的 $Q(x)\neq 0$，属于非齐次。
构造积分因子
对方程 $y'+\dfrac{2}{x}y=3$ 求积分因子，并写出“乘进去积出来”的核心式子。
参考路径
- $P(x)=\dfrac{2}{x}$。
- $\mu(x)=e^{\int 2/x\,dx}=e^{2\ln|x|}=x^2$。
- 因此有 $(x^2y)'=3x^2$。
齐次一阶线性
求 $y'+4y=0$ 的通解。
参考路径
- 这是标准形式，且 $Q(x)=0$。
- 套齐次公式 $y=Ce^{-\int P(x)\,dx}$。
- $P(x)=4$，所以通解为 $y=Ce^{-4x}$。
非齐次一阶线性
求 $y'+y=e^{-x}$ 的通解。
参考路径
- $P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
- $e^{-\int Pdx}=e^{-x}$，且 $\int Q(x)e^{\int Pdx}dx=\int 1\,dx=x$。
- 通解为 $y=e^{-x}(x+C)$。
从通解到特解
求满足 $y'+2y=1,\ y(0)=3$ 的特解。
参考路径
- 先求通解：$y=\dfrac12+Ce^{-2x}$。
- 代入 $y(0)=3$，得 $3=\dfrac12+C$，所以 $C=\dfrac52$。
- 特解为 $y=\dfrac12+\dfrac52e^{-2x}$。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 标准形式 | 能先把原题化成 $y'+P(x)y=Q(x)$，不直接在原式上套公式。 | |
| 积分因子 | 能写出积分因子并把它乘进原方程得到导数形式。 | |
| 初值与区间 | 能从通解代到特解，并意识到 $x$ 在分母时要说明区间。 |