写特征方程
为方程 $y''-5y'+6y=0$ 写出特征方程，并判断根型。
参考路径
- 把 $y''$、$y'$、$y$ 分别换成 $r^2$、$r$、$1$。
- 得到特征方程 $r^2-5r+6=0$。
- 解得 $r=2,3$，属于两个不等实根。
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课4专项练习先练“代数化”，再练“定型”。二阶常系数齐次线性方程的核心是把它交给特征方程；根型一变，通解公式就跟着变。带初值题要把常数真的求出来；看到非齐次题时，要先认出“齐次通解 + 特解”的结构，而不是直接乱设。
先写特征方程
根型定公式
重根别漏 x
复根别漏 e^{ax}
非齐次先看结构
专项训练
二重根判断
为方程 $y''-4y'+4y=0$ 写出特征方程，并说明为什么是二重根。
参考路径
- 特征方程为 $r^2-4r+4=0$。
- 它可写成 $(r-2)^2=0$。
- 因此只有一个实根 $r=2$，但重数为 2，属于二重根。
共轭复根判断
为方程 $y''+2y'+10y=0$ 写出特征方程、根和对应通解形式。
参考路径
- 特征方程是 $r^2+2r+10=0$。
- 解得 $r=-1\pm3i$，即 $\alpha=-1,\beta=3$。
- 通解为 $y=e^{-x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)$。
不等实根通解
求 $y''-3y'+2y=0$ 的通解。
参考路径
- 特征方程：$r^2-3r+2=0$。
- 解得 $r_1=1,r_2=2$。
- 通解为 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$。
从通解到特解
求满足 $4y''-4y'+y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=3$ 的特解。
参考路径
- 特征方程 $(2r-1)^2=0$，所以是二重根 $r=\dfrac12$。
- 通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{x/2}$。
- 由初值解得 $C_1=1,\ C_2=\dfrac52$，特解为 $y=\left(1+\dfrac52x\right)e^{x/2}$。
非齐次的基本结构
说明方程 $y''+3y'+2y=3x+1$ 的通解结构，并写出特解应怎样设。
参考路径
- 先看对应齐次方程 $y''+3y'+2y=0$，其特征方程根为 $-1,-2$。
- 因此齐次通解为 $Y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$。
- 右端是一次多项式，所以可设特解 $y^*=ax+b$，总通解为 $y=Y+y^*$。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 特征方程 | 能准确写出特征方程，不把原方程项错抄到代数方程中。 | |
| 根型与通解 | 能按不等实根、二重根、复根三类正确写通解。 | |
| 初值与非齐次结构 | 能从通解代到特解，并知道非齐次题要先写“齐次通解 + 特解”。 |