先看路线
判断下列方程分别该走哪条路线：$y'=xy$，$y'=1+\dfrac yx$，$y'+2y=e^x$，$y''-4y'+4y=0$。
参考路径
- $y'=xy$：可分离变量。
- $y'=1+\dfrac yx$：齐次型，可令 $y=ux$。
- $y'+2y=e^x$：一阶线性，先看标准形式。
- $y''-4y'+4y=0$：二阶常系数齐次，先写特征方程。
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总复习训练的重点不是“会不会算某一道”，而是能不能先把路线分清。每道题都先问自己：这是概念判断、一阶三型、二阶常系数，还是实际模型；路线一定后，再把规范步骤一次写全。
题型先行
一阶三型
特征方程
通解与特解
模型解释
专项训练
可分离变量
求解 $y'=2xy$，并说明你为什么能直接分离变量。
参考路径
- 可写成 $\dfrac{dy}{y}=2x\,dx$，左右各含单一变量。
- 积分得 $\ln|y|=x^2+C$。
- 所以通解可写成 $y=Ce^{x^2}$。
齐次型
求解 $y'=1+\dfrac yx$，写出代换后的新方程。
参考路径
- 右端只含 $y/x$，令 $y=ux$。
- 则 $y'=u+xu'$，代入得 $u+xu'=1+u$。
- 化成 $xu'=1$，再积分得 $u=\ln|x|+C$，所以 $y=x(\ln|x|+C)$。
一阶线性
求解 $y'+y=e^{-x}$，并写出积分因子。
参考路径
- 标准形式已给出，$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
- 积分因子 $\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^x$。
- 乘入后得 $(e^xy)'=1$，所以 $e^xy=x+C$，通解为 $y=e^{-x}(x+C)$。
特征方程路线
求解 $y''-4y'+4y=0$，说明它属于哪一类根型。
参考路径
- 特征方程为 $r^2-4r+4=0$。
- 解得重根 $r=2$。
- 所以通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{2x}$。
回到题意
冷却模型中为什么要写成 $\theta'=-k(\theta-T_0)$，而不是 $+k(\theta-T_0)$？
参考路径
- 当物体温度高于环境温度时，$\theta-T_0>0$。
- 冷却意味着温度随时间下降，所以 $\theta'<0$。
- 因此必须在正比关系前加负号。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 路线判断 | 能先分清一阶三型、二阶常系数和模型题。 | |
| 关键步骤 | 能写出分离变量、代换、积分因子、特征方程等核心动作。 | |
| 解释回题意 | 能把模型里的符号和结果重新解释回实际情境。 |