先看系数极限
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛半径，并说明端点要不要再查。
参考路径
- 把它看作 $\sum a_n x^n$，其中 $a_n=n$。
- 用比值思路，$\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\dfrac{n}{n+1}\to 1$，得 $R=1$。
- 最后仍要单独检查 $x=1$ 和 $x=-1$。
训练主线
本课练习只做三件事：先求收敛半径并检查端点；再写常见函数的麦克劳林或泰勒展开；最后用截断多项式做函数值近似，并明确“只在展开点附近更可靠”。
收敛半径
端点检查
麦克劳林
泰勒展开
近似应用
专项训练
不要漏掉端点
判断 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛区间。
参考路径
- 先看几何级数，$|x|<1$ 时收敛。
- 端点 $x=1$ 时变成 $1+1+\cdots$，发散。
- 端点 $x=-1$ 时变成 $1-1+1-\cdots$，也发散，所以区间是 $(-1,1)$。
写出常见展开
写出 $e^x$ 的麦克劳林展开到 $x^3$ 项。
参考路径
- 展开中心是 0。
- $e^x$ 的各阶导仍是 $e^x$，在 0 点都等于 1。
- 所以 $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$。
奇偶项辨认
写出 $\sin x$ 的麦克劳林展开到 $x^5$ 项，并说明为什么只有奇次幂。
参考路径
- $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots$。
- $\sin x$ 在 0 点的偶数阶导为 0。
- 因此展开式只留下奇次幂项。
展开点改变会怎样
用自己的话说明：为什么把函数从 $x_0=0$ 改到 $x_0=1$ 展开，得到的多项式会变？
参考路径
- 泰勒多项式抓取的是展开点处的函数值、导数值和曲率信息。
- 展开点变了，被抽取的局部信息也跟着变。
- 所以多项式系数会变，最精确的“贴合区域”也会跟着移动。
截断多项式做近似
用 $1+x+\dfrac{x^2}{2}$ 近似 $e^{0.2}$，并说明这种近似为什么适合 $x=0.2$ 但不适合离 0 太远的点。
参考路径
- 代入 $x=0.2$，得 $1+0.2+0.02=1.22$。
- 因为 0.2 离展开点 0 很近，所以低阶项已经能较好逼近。
- 若离 0 远，截断余项会变大，低阶多项式就不够用了。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 收敛半径与端点 | 能正确区分“先定 $R$”和“端点另查”这两个步骤。 | |
| 展开式书写 | 能写出常见函数的前几项展开，并知道展开中心影响系数。 | |
| 近似理解 | 能说明为什么泰勒多项式属于局部逼近。 |