第12章 第01课 二重积分的概念与性质专项练习

定义四步、几何意义与基本性质训练

课后巩固 课件 虚拟人 二重实验

训练主线

本课练习只做三件事：先把二重积分定义四步讲清；再把它解释成曲顶柱体体积；最后用区域可加、比较和“高度恒为 1 时等于面积”这些性质回到题目里。

定义四步 黎曼和 曲顶柱体 区域可加 面积退化

专项训练

定义

把口令写完整

用自己的话写出二重积分定义中的四个动作。
参考路径
  1. 先把区域 $D$ 分成很多小块。
  2. 每块里取一点，读出高度 $f(x,y)$。
  3. 用“高度 × 小面积”求每个小柱体体积并求和。
  4. 让分割无限细，和的极限就是二重积分。
几何

高度恒为 1 时

说明为什么 $\iint_D 1\,\mathrm d\sigma$ 的结果就是区域 $D$ 的面积。
参考路径
  1. 被积函数恒为 1，表示每个点的高度都等于 1。
  2. 于是形成的是“底面为 $D$、高为 1”的直柱体。
  3. 体积等于底面积，所以积分值数值上就等于区域面积。
计算

常数高度体积

在矩形区域 $D=[0,1]\times[0,2]$ 上，求 $\iint_D 2\,\mathrm d\sigma$。
参考路径
  1. 区域面积是 $1\times 2=2$。
  2. 高度恒为 2。
  3. 体积就是 $2\times 2=4$，所以积分值为 4。
可加

先拆再加

若区域 $D$ 被分成互不重叠的 $D_1$ 和 $D_2$，为什么有 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f\,\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f\,\mathrm d\sigma$？
参考路径
  1. 大区域的所有小柱体可以按所在子区域分组。
  2. $D_1$ 和 $D_2$ 没有重叠，不会重复计算。
  3. 所以整体体积等于两部分体积之和。
区域

读出上下限

把三角形区域 $0\le y\le x\le 1$ 用一句话读出来，并说明谁是外层变量、谁是内层变量。
参考路径
  1. 外层变量可以取 $x$，范围是 $0\le x\le 1$。
  2. 固定一个 $x$ 后，内层变量 $y$ 从 0 走到 $x$。
  3. 因此这是一块位于直线 $y=x$ 下方、第一象限内的三角形区域。
比较

正负与大小

若在同一区域上有 $f(x,y)\ge g(x,y)$，你能说出二重积分之间的大小规律吗？
参考路径
  1. 同一区域上，高度更大的曲顶柱体体积不会更小。
  2. 因此 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma \ge \iint_D g\,\mathrm d\sigma$。
  3. 这是比较性质的几何直观。

教师复核

检查点达标要点教师记录
定义四步能完整说出分割、取点、求和、极限四步。
几何意义与性质能把积分解释成体积，并说明高度为 1 时退化为面积。
区域表达能读出外层变量、内层变量和上下限顺序。

回看入口

回主课件继续看定义四步、几何意义和基本性质。 回二重实验继续观察曲顶柱体体积逼近与区域分割。 回课后巩固把概念、性质和区域表达写回课后页。 回学生笔记把概念与性质压进章节总表。 回虚拟人再听一遍“分割、取点、求和、极限”。 看下一课本课稳定后，再进入二重积分的计算。