先写区域
把三角形区域 $0\le y\le x\le 1$ 分别写成“先对 $y$ 积、后对 $x$ 积”和“先对 $x$ 积、后对 $y$ 积”两种形式。
参考路径
- 竖切时：$0\le x\le 1,\ 0\le y\le x$。
- 横切时：$0\le y\le 1,\ y\le x\le 1$。
- 两种都对，关键是看后续谁更好算。
训练主线
本课练习只做三件事：先看区域图形，再设积分上下限；然后按累次积分写出完整计算式；若原次序不顺，就换序把难算的式子改成顺手的式子。
区域分型
上下限
累次积分
换序
简化计算
专项训练
矩形区域直接算
计算 $\iint_D (x+y)\,\mathrm d\sigma$，其中 $D=[0,1]\times[0,2]$。
参考路径
- 矩形区域最直接：$\int_0^1\int_0^2(x+y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx$。
- 先对 $y$ 积，再对 $x$ 积，得到结果。
- 这类题先看区域是否已经是矩形。
看谁更顺手
说明为什么有些题把 $\int_0^1\int_x^1 f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx$ 换序后会更好算。
参考路径
- 先从不等式读出区域：$0\le x\le y\le 1$。
- 换序后可写成 $\int_0^1\int_0^y f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。
- 若被积函数对某个变量更容易积分，换序就能显著简化计算。
谁先积谁后积
若区域由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成，你会先对谁积分？说明原因。
参考路径
- 先画图，区域在第一象限内。
- 若竖切，$x$ 从 0 到 1，$y$ 从 $x^2$ 到 $x$，表达更直接。
- 所以先对 $y$ 积通常更省事。
把区域翻成公式
将区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\ y/2\le x\le 1\}$ 翻译成一个二重积分式，并说明这是哪一类区域。
参考路径
- 这是先定 $y$、后定 $x$ 的 $y$ 型区域。
- 积分式可写成 $\int_0^2\int_{y/2}^1 f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。
- 看上下限时要先认外层变量的固定范围。
换序标准
用自己的话说出你判断“这题该不该换序”的 2 个标准。
参考路径
- 看原积分的上下限是否复杂、是否容易出错。
- 看换序后被积函数是否更容易先积掉一个变量。
- 看图形是否更容易用另一种切片方式表达。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 区域分型 | 能把图形稳定翻成积分上下限。 | |
| 累次积分 | 能按选定次序写完整计算步骤。 | |
| 换序意识 | 能判断换序是否会让题目更短、更稳。 |