先看取值长什么样
判断下列随机变量是离散型还是连续型：① 一天接到的报修单数；② 某零件寿命；③ 连续加工 10 件产品中的合格件数。
参考路径
- 报修单数、合格件数只能取 0,1,2,...，属于离散型。
- 寿命在区间上连续变化，属于连续型。
- 判断关键不是背景，而是“取值是一列还是一段”。
训练主线
这组题只练四件事：先判断随机变量的取值类型；再写分布列或解释密度函数；然后识别典型分布；最后把分布放回概率计算与题意判断。
离散型
连续型
分布列
密度函数
二项 / 泊松
专项训练
把概率列出来
随机变量 $X$ 表示掷两枚硬币出现正面的个数，写出 $X$ 的分布列。
参考路径
- $X$ 的取值为 0,1,2。
- 对应概率分别是 $1/4,1/2,1/4$。
- 分布列既要列取值，也要列对应概率，且概率和等于 1。
密度不是单点概率
设连续型随机变量 $X$ 在区间 $[0,2]$ 上服从均匀分布，说明为什么 $P(X=1)=0$，并求 $P(0.5 \le X \le 1.5)$。
参考路径
- 连续型随机变量的单点概率恒为 0。
- 均匀分布密度为 $1/2$。
- 区间长度为 1，所以概率是 $1 \times 1/2 = 1/2$。
看到重复试验就想它
某设备独立检测 5 次，每次合格概率为 $0.8$。令 $X$ 表示 5 次中合格的次数，说明为什么 $X$ 服从二项分布，并写出 $P(X=4)$ 的表达式。
参考路径
- 重复进行 5 次独立试验，每次只有“合格 / 不合格”两种结果，成功概率固定。
- 所以 $X \sim B(5,0.8)$。
- $P(X=4)=\\binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1$。
看到稀有次数就想它
某呼叫中心每分钟平均接到 2 次紧急电话，令 $X$ 表示 1 分钟内接到的紧急电话次数。说明为什么可近似看成泊松分布，并写出 $P(X=0)$。
参考路径
- 关注的是单位时间内稀有事件发生次数。
- 所以常用泊松分布 $P(\\lambda)$，这里 $\\lambda=2$。
- $P(X=0)=\\dfrac{2^0 e^{-2}}{0!}=e^{-2}$。
你最容易错在哪
用自己的话写出本课最容易混淆的 2 个点。
参考路径
- 把连续型的密度值直接当概率。
- 只看题目背景，不看取值特点就乱判分布类型。
- 看见计数题就都当二项分布，没有先看独立性和固定成功概率。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 类型判断 | 能根据取值特点区分离散型与连续型。 | |
| 分布表达 | 能写分布列，能解释密度函数与区间概率。 | |
| 典型分布 | 能识别二项分布、泊松分布等典型场景。 |