先分清“平均”和“波动”
用自己的话解释：数学期望反映什么，方差反映什么，标准差为什么更直观。
参考路径
- 期望反映平均水平或重心位置。
- 方差反映围绕均值的波动大小。
- 标准差和原变量量纲一致，所以更直观。
训练主线
这组题只练四件事：先理解期望和方差各自刻画什么；再调常见分布的公式；然后用性质快速化简；最后在不知道具体分布时用切比雪夫不等式给上界。
数学期望
方差
性质
常见分布
切比雪夫
专项训练
调分布公式
设 $X \\sim B(10,0.3)$，求 $E(X)$ 和 $D(X)$。
参考路径
- 二项分布的期望为 $np$，方差为 $np(1-p)$。
- 所以 $E(X)=10\\times0.3=3$。
- $D(X)=10\\times0.3\\times0.7=2.1$。
先化简再代入
已知 $E(X)=2$，$D(X)=5$，求 $E(3X-4)$ 与 $D(3X-4)$。
参考路径
- $E(3X-4)=3E(X)-4=2$。
- $D(3X-4)=3^2D(X)=45$。
- 方差平移不变，提常数要平方。
什么时候能直接相加
设 $X,Y$ 相互独立，且 $D(X)=4$，$D(Y)=9$，求 $D(X-Y)$，并说明为什么减号不会让方差变成相减。
参考路径
- 独立时，$D(X\\pm Y)=D(X)+D(Y)$。
- 所以 $D(X-Y)=13$。
- 方差度量的是波动，不会因为做减法就自动抵消。
只知道均值和方差时怎么办
已知 $E(X)=5$，$D(X)=4$，求 $P(|X-5|\\ge 4)$ 的切比雪夫上界。
参考路径
- 切比雪夫不等式：$P(|X-\\mu|\\ge \\varepsilon)\\le \\dfrac{\\sigma^2}{\\varepsilon^2}$。
- 这里 $\\sigma^2=4$，$\\varepsilon=4$。
- 所以上界为 $4/16=1/4$。
你最容易错在哪
用自己的话写出本课最容易混淆的 2 个点。
参考路径
- 把 $E(aX+b)$ 和 $D(aX+b)$ 的系数处理写成一样。
- 忘记“独立”这个前提，就乱用方差相加。
- 把切比雪夫上界当成精确概率。
教师复核
| 检查点 | 达标要点 | 教师记录 |
|---|---|---|
| 概念理解 | 能区分期望、方差、标准差的含义。 | |
| 性质使用 | 能正确运用期望和方差的性质。 | |
| 不等式估计 | 能用切比雪夫不等式给上界并解释含义。 |