极限运算与无穷量 · 沉浸式数学故事
流水线上的两个越来越
单件耗时越来越小，包装件数越来越多。两个方向相反的变化碰在一起，总耗时究竟听谁的？
包装线 · 改造前
一件要 12 秒，一百件排成长队。
食品车间准备提速。原先单件包装耗时固定，班长只要用件数乘以单件时间，就能排出整班任务。
总耗时 T = 件数 n × 单件耗时 t乘积把两个变化量绑在了一起。
提速试验
件数越来越多，单件时间越来越少。
新设备把一次动作拆得更细：每批件数增加，单件耗时下降。有人看到 t→0 就断言总耗时也会归零。
n → ∞，t → 0只看一个因子，无法替整个乘积作结论。
第一种情况
很小乘有界，一定一起归零。
师傅先把班次数量限制在不超过 500 件。无论怎样波动，件数都有上界；当单件误差趋于 0，累计误差也被压向 0。
α(x)→0，|g(x)|≤M ⇒ α(x)g(x)→0无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
第二种情况
0 乘无穷，不是一个答案。
若件数不设上限，t=1/n 时总量趋于 1；t=1/n² 时趋于 0；t=1/√n 时反而无穷大。
n·1/n→1 n·1/n²→0 n/√n→∞0·∞ 是未定式，必须比较变化速度。
运算法则
先确认各自极限，再判断能否直接运算。
和、差、积、商都有条件。特别是商的分母极限不能为 0；遇到未定式，就要先变形，而不是把符号当普通数计算。
lim(f/g)=A/B，前提 B≠0“能不能代”永远先于“代出多少”。
班次计划
两个“越来越”，终于被算成一张可靠工单。
班长给件数设定范围，再用实测 t(n) 比较增长速度，得到总耗时上界。流水线提速不再靠口号，而是靠极限关系。
比较主导项 → 判断乘积去向方向相反并不自动抵消。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
已知 α(x)→0，g(x) 有界，则 α(x)g(x) 的极限是？
先作判断，再核对理由。