两个重要极限 · 沉浸式数学故事
利息滚出来的 e
计息从一年一次变成每秒一次，账户余额一直增加，却停在一个谁也没有手填过的常数前。
财会实训 · 本金 1
一年只结一次，年末变成 2。
小许把本金和年利率都设为 1。若一年末才结息一次，账户从 1 变为 2。
A₁=(1+1)¹=2计息次数决定每次利率与复利次数。
改成按月
滚得更勤，余额果然更高。
一年分成 n 期，每期利率是 1/n，每期利息都进入下一期本金。n 从 1、2、4 逐渐增大。
Aₙ=(1+1/n)ⁿ底数趋近 1，指数却趋向无穷。
意外
次数无限增多，余额没有无限爆炸。
按日、按时、按秒计算，余额继续增加，但相邻结果差得越来越小，稳定靠近 2.71828……
2 < Aₙ < 3增长被一个有限上界压住。
常数登场
e 不是人为规定，而是连续复利的极限。
这个稳定目标被记作 e。它会在连续按比例增长、衰减、人口与温度模型中反复出现。
limₙ→∞(1+1/n)ⁿ=e极限把越来越频繁的离散复利连接到连续增长。
换一个入口
只要小量趋零，同一扇门仍会打开。
令 x=1/n，n→∞ 等价于 x→0，公式就变成另一种常用形式。
limₓ→0(1+x)¹⁄ˣ=e识别结构比死记自变量名字更重要。
结账
滚得再勤，也有可预测的终点。
小许用公式核对系统设置，发现“连续计息”并不是无穷财富，而是明确的极限模型。
连续复利：A=Peʳᵗe 是增长规律留下的指纹。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
limₙ→∞(1+1/n)ⁿ 等于？
先作判断，再核对理由。