极限与连续总复习 · 沉浸式数学故事
与幽灵共舞
牛顿让一个量先存在、再消失。贝克莱把它叫作“消失量的幽灵”，一场争论逼出了更可靠的极限语言。
17 世纪 · 速度难题
想抓住一瞬，先借来一个极小间隔。
牛顿计算瞬时变化时，让时间增量先不是 0，好做除法；随后又把它当作消失。方法惊人有效，逻辑却留下裂缝。
平均变化率 = Δs/Δt分母若直接等于 0，除法没有意义。
贝克莱的质问
它既不是零，又被当成零？
批评者把无穷小讥为“消失量的幽灵”：计算中到底在哪一步存在，又在哪一步消失？
0/0 不能按普通数约分质疑的不是结果，而是推理是否可靠。
极限语言
不让增量等于零，只让它无限靠近零。
后来人把含混动作改写成过程：在每一步里 Δt≠0，因此商有意义；最后研究 Δt→0 时商趋向什么。
limΔt→0 Δs/Δt“趋近”替代了“先有后无”。
四条收魂路径
直代不通，就看式子的结构。
能直代先直代；0/0 型先因式分解或有理化；含小角因子考虑等价无穷小；形如 (1+1/n)ⁿ 识别重要极限。
直代 → 变形 → 等价替换 → 重要极限每一步都先核对适用条件。
连续三查
幽灵散去后，还要检查函数有没有断。
点值存在、极限存在、二者相等。三关同时通过才连续；左右极限不等是跳跃，相等但点值错位是可去间断。
f(x₀)=limₓ→x₀ f(x)把图像直觉翻译成条件。
今夜的清单
历史没有替你答题，却留下了判断顺序。
复习不是背一串传奇。真正有用的是：先认趋近对象，再认未定式，选择工具，最后回看定义与条件。
对象 → 结构 → 方法 → 条件 → 结论让每一次“消失”都能被说明。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
计算极限遇到 0/0 型时，第一反应应当是？
先作判断，再核对理由。