导数概念与运算法则 · 沉浸式数学故事
测速枪的一瞬
区间测速说全程平均，卡口测速抓住某一瞬间。同一辆车的两个读数，中间只差一次极限。
训练场 · 区间 A—B
两公里用了一分半，平均速度很好算。
检测员小梁记录车辆从 A 点到 B 点的时间。路程差除以时间差，得到整个区间的平均速度。
v̄ = [s(t₂)−s(t₁)]/(t₂−t₁)这是割线斜率，也是一个时间段的总体表现。
卡口 · 同一辆车
测速枪只问：这一刻有多快？
车辆经过卡口时，屏幕给出 86 km/h。它没有等待另一个遥远时刻，平均速度公式里的时间间隔必须被压得很小。
Δt 越小，平均速度越接近瞬时速度瞬时量由一族越来越短的区间逼近。
把镜头拉近
两点越靠越近，割线慢慢贴住切线。
小梁在路程—时间曲线上移动第二个点。两点连线不断转动，最终趋向卡口时刻的切线。
[s(t₀+Δt)−s(t₀)]/ΔtΔt 不能先等于 0，否则分母失去意义。
极限落地
平均变化率取极限，就是导数。
当差商在 Δt→0 时有确定极限，这个极限记为 s′(t₀)，同时代表瞬时速度与切线斜率。
s′(t₀)=limΔt→0 [s(t₀+Δt)−s(t₀)]/Δt代数、运动与几何在同一个数上会合。
会算也要会认
导数公式不是魔法，它压缩了极限过程。
幂函数、指数函数、三角函数的导数表让计算变快，但每个符号背后仍是瞬时变化率。
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ (eˣ)′=eˣ先理解对象，再使用规则。
复核
两种测速没有打架，它们回答的是两个问题。
区间平均反映整段行程；瞬时速度反映某个时刻。小梁把二者同时写进检测报告，不再拿一个替代另一个。
平均：区间 ｜ 瞬时：点的极限问清时间尺度，读数才有意义。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
曲线 y=f(x) 在 x₀ 处的导数，从几何上表示什么？
先作判断，再核对理由。