隐函数求导与对数求导 · 沉浸式数学故事
解不出来也要问斜率
水温与溶氧纠缠在一条经验关系里，y 很难单独解出，但现场仍要知道温度每升一度会损失多少溶氧。
水质站 · 一条纠缠曲线
温度与溶氧，被同一个条件拴在一起。
监测组用经验式 F(x,y)=0 描述水温 x 与溶氧 y。公式含有 y² 和 xy，硬把 y 解成显函数既慢又容易丢分支。
F(x,y)=0关系已经确定，即使 y 没被单独写在等号左边。
组长的追问
解不出 y，就不能问变化率吗？
现场只需某点附近“温度每升 1 ℃，溶氧约降多少”。这是切线斜率 dy/dx，而不是整条显式公式。
目标：在 (x₀,y₀) 求 y′局部问题不一定需要全局解。
两边同时求导
看到 y，记得它也依赖 x。
对等式两边关于 x 求导。含 y 的项使用链式法则：y² 的导数不是 2y，而是 2yy′。
d(y²)/dx=2y·y′所有 y′ 项都要被完整保留。
把斜率收拢
含 y′ 的项站一边，其余项站另一边。
整理后直接解出 y′，再代入测量点的 x₀、y₀。一般形式可以写得非常紧凑。
y′=−Fₓ/Fᵧ（Fᵧ≠0）分母为 0 时要警惕竖直切线或条件失效。
另一条捷径
幂与乘积太复杂，先取对数再求导。
对 y=[u(x)]^{v(x)} 或多个因子的乘除式，先取自然对数把幂降下来、把乘除变成加减，再隐式求导。
ln y=v ln u对数求导是结构整理，不是新的导数定义。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
对 y² 关于 x 求导，正确结果是？
先作判断，再核对理由。