函数的微分 · 沉浸式数学故事
误差是可以速算的
轴径量偏 0.02 毫米，配合面积大约会差多少？老师傅用 dy 先报范围，软件随后才给精确值。
测量台 · 轴径偏差
0.02 毫米不大，面积误差却会被放大。
小罗测得圆轴直径 d 比设计值多 0.02 mm。配合截面积 A=πd²/4，他需要立刻判断零件是否超差。
A(d)=πd²/4，Δd=0.02精确增量要算 A(d+Δd)−A(d)。
切线先开口
在很小的范围里，曲线几乎像直线。
以设计尺寸 d₀ 为中心，函数图像与切线非常接近。沿切线算出的纵向变化叫微分 dy。
dy=f′(x₀)dx这里 dx=Δx，而 dy 是 Δy 的线性主部。
把数代进去
导数给敏感度，测量误差给扰动。
面积对直径的导数是 πd/2。设计直径越大，同样 0.02 mm 造成的面积变化越明显。
dA≈(πd₀/2)·Δd单位也随导数与 dx 一起变成面积单位。
近似为什么可靠
被省掉的部分，比 dx 更快变小。
可微意味着 Δy=f′(x₀)Δx+o(Δx)。当 Δx 很小，余项相对 Δx 可以忽略。
Δy=dy+o(Δx)近似精度来自余项的阶，而不是经验保证。
快速放行
先用 dy 筛查，临界件再精算。
小罗用微分几秒内得到误差范围；只有接近公差边界的零件才交给软件做精确复核。
绝对误差 ≈ |f′(x₀)|·|Δx|微分最适合小扰动下的快速估计。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
函数在 x₀ 可微时，Δy 的线性主部是？
先作判断，再核对理由。