导数与微分总复习 · 沉浸式数学故事
双子星的诞生
牛顿从运动追问瞬时速度，莱布尼茨从符号整理变化关系。两条山路抵达同一座导数峰顶。
牛顿的山路
行星不停运动，速度也必须在一瞬被说清。
牛顿从流量与运动出发，把变化的量想成随时间流动。他关注的是“此刻变化多快”。
瞬时速度 = 位移增量与时间增量之比的极限物理问题把平均变化率推向瞬时变化率。
莱布尼茨的山路
一套好符号，让变化关系可以被计算。
莱布尼茨写下 dx、dy 与 dy/dx，让链式关系、乘积关系一眼可见。今天的计算语言大多沿着这条路。
dy=f′(x)dx符号把局部线性关系压缩成可操作形式。
同一峰顶
两种叙述不同，核心极限相同。
无论从速度、切线还是微分出发，导数都由差商极限定义；微分则是函数增量的线性主部。
f′(x₀)=limΔx→0 Δy/Δx概念要回定义，计算可走法则。
计算工具箱
先认结构，再决定用哪条法则。
和差逐项求导；乘积保留两项；商法则守住分母；复合函数逐层使用链式法则；隐函数别漏 y′。
和差｜积｜商｜链式｜隐式｜对数结构识别比机械套表更稳。
应用工具箱
求得导数后，别忘了翻译回问题。
导数可能是速度、边际量、敏感度或切线斜率；微分适合小扰动估算。单位与正负号都在讲故事。
数值 + 单位 + 方向 + 语境答案不是孤立的式子。
双修清单
理解用牛顿的眼睛，计算用莱布尼茨的笔。
复习时先写依赖关系与求导目标，再选法则，检查定义域和不可导点，最后解释结果。
对象 → 定义 → 法则 → 条件 → 解释两条传统在同一张检查表里会合。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
复合函数 y=f(g(x)) 的导数应为？
先作判断，再核对理由。