微分中值定理 · 沉浸式数学故事
平均时速的传票
全程平均 82 km/h，司机却说自己没有任何一刻开到 82。队长用一条定理指出：那一刻一定存在。
车队 · 区间传票
六十公里路，平均时速写着 82。
物流司机收到区间测速记录。他承认总路程与总时间，却坚持“我没有哪一刻正好是 82”。
平均速度=[s(b)−s(a)]/(b−a)=82平均值来自整段区间。
队长画线
起点与终点连成的线，斜率就是全程平均。
在路程—时间图上，端点连成一条割线。司机的瞬时速度则是曲线上各点切线的斜率。
割线斜率 = 平均变化率问题变成：是否有一条切线与割线平行。
先验门票
结论很强，条件也一条不能少。
罗尔定理与拉格朗日中值定理都要求函数在闭区间连续、开区间可导。停车瞬移、数据断档都会破坏条件。
[a,b] 连续；(a,b) 可导先验条件，后找 ξ。
那一刻存在
某个 ξ 处的切线，必与端点割线平行。
中值定理保证至少存在 ξ∈(a,b)，使瞬时变化率等于全程平均变化率。它保证存在，不保证唯一，也不直接告诉具体时刻。
f′(ξ)=[f(b)−f(a)]/(b−a)存在性不是定位算法。
司机的辩词
若每一刻都低于 82，平均就不可能到 82。
队长用反证直觉解释：速度始终小于 82，路程累积就达不到记录值。因此至少有一刻速度不低于平均值；在连续条件下会追平。
局部变化共同决定整体增量中值定理是局部与整体之间的桥。
签收
传票给出平均，定理保证某一瞬。
司机接受了结论，也学会在使用它前先问轨迹是否连续、速度是否存在。
条件 → 存在 ξ → 解释别把“至少一个”误说成“只有一个”。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
拉格朗日中值定理保证的 ξ 有什么特点？
先作判断，再核对理由。