向量坐标运算与数量积向量积 · 沉浸式数学故事
拉力里有效的那部分
钢索斜着拉，真正推动小车的只有沿轨道那部分；扳手要转动螺栓，又偏偏依赖垂直的那部分。
起重轨道 · 斜拉
钢索很用力，小车只听沿轨道的分量。
拉力 F⃗ 与轨道方向 s⃗ 有夹角。把 F⃗ 投影到轨道上，才得到真正推动小车的有效分量。
标量投影：compₛF = F⃗·s⃗/|s⃗|若 s⃗ 是单位向量，投影就是 F⃗·s⃗。
数量积
两个向量越同向，点乘越大。
数量积把长度与夹角压缩成一个数：同向为正，反向为负，垂直时为零。
a⃗·b⃗=|a⃗||b⃗|cosθ坐标形式为 a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。
做功
位移听见的，仍是力的平行分量。
物体沿 s⃗ 移动时，力所做的功等于 F⃗·s⃗。垂直分量改变受力，却不贡献这段位移方向上的功。
W=F⃗·s⃗点乘的结果是标量。
扳手 · 另一种效果
想让螺栓转，要看垂直出来的面积。
位置向量 r⃗ 与力 F⃗ 的叉乘给出力矩方向，模长等于两向量张成的平行四边形面积。
M⃗=r⃗×F⃗，|M⃗|=|r⃗||F⃗|sinθ叉乘结果是同时垂直于两向量的新向量。
方向判定
点乘管投影，叉乘管转动与法向。
技术员用点乘检查垂直，用叉乘按右手规则确定旋转轴。两个工具都在处理夹角，却输出不同类型的结果。
a⃗·b⃗=0 ⇒ 垂直；a⃗×b⃗=0 ⇒ 平行使用前先问：需要一个数，还是需要一个方向。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
两个非零向量垂直时，它们的数量积为？
先作判断，再核对理由。