平面与空间直线方程 · 沉浸式数学故事
一面墙与一根管
墙面需要一点和法向量，管线需要一点和方向向量。碰不碰、平不平，全藏在两支向量的关系里。
深化设计 · 定墙
墙上一个点还不够，还要知道墙朝哪边。
已知墙面经过 P₀(x₀,y₀,z₀)，再给出垂直墙面的法向量 n⃗=(A,B,C)，平面方向才被锁定。
A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0平面内任意位移都与法向量垂直。
定管
管线只要一个起点，再给一支前进方向。
管道经过 Q₀，方向向量为 s⃗=(l,m,n)。沿参数 t 前进，就得到整条空间直线。
r⃗=r⃗₀+t s⃗参数 t 取遍实数，直线向两端延伸。
平行检查
方向若听不见法向，管线就沿着墙走。
当 s⃗·n⃗=0，直线方向与平面法向垂直，因此直线平行于平面；若起点也在平面上，整根管就躺在墙面内。
s⃗·n⃗=0还要代入起点，区分“平行分离”与“包含于平面”。
垂直与相交
方向若与法向平行，管线就正对墙面。
s⃗∥n⃗ 时直线垂直平面。一般情况下，把直线参数式代入平面方程可求交点与碰撞位置。
代入后解 t → 交点无解可能平行；恒成立说明直线在平面内。
碰撞消除
一点管位置，一支向量管姿态。
团队修改方向向量并重新求交。墙与管的空间关系从模型里的“看起来”变成可复核的代数条件。
点 + 法向量定平面；点 + 方向向量定直线写方程前先辨认哪个向量属于谁。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
直线方向向量 s⃗ 与平面法向量 n⃗ 满足 s⃗·n⃗=0，说明直线方向怎样？
先作判断，再核对理由。