多元函数的概念极限与连续 · 沉浸式数学故事
两个旋钮一个读数
温度与湿度共同决定长势指数。仪表只有一个读数，输入却是一整块平面上的旋钮组合。
智能温室 · 双输入
两个旋钮一起定，一个长势读数。
温度 x 与湿度 y 同时输入控制模型，输出长势指数 z。固定一组 (x,y)，仪表给出唯一 z。
z=f(x,y)自变量从数轴上的点，扩展为平面上的点。
可用区域
不是所有组合，都允许进入模型。
设备要求温度、湿度落在安全范围，还可能受露点等联合条件限制。这些可用输入在 xy 平面上围成定义域 D。
(x,y)∈D多元函数的定义域通常是一块区域，而不是一个区间。
图像
平面上的每个输入点，向上托起一个高度。
把 z=f(x,y) 画在三维坐标系中，得到一张曲面。水平切片得到等值线，方便寻找相同长势的旋钮组合。
图像：{(x,y,z) | z=f(x,y)}等值线不是运动轨迹，而是函数值相同的输入集合。
二重极限
走向同一个设置点，条条路都要给同一个答案。
让 (x,y) 从直线、曲线和任意方向靠近 (x₀,y₀)。只有所有路径都趋向同一 L，二重极限才存在。
lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y)=L找到两条路径给出不同结果，就足以否定极限。
连续区
附近输入只小幅变化，读数也只小幅变化。
若点上有定义、极限存在且等于点值，函数在该点连续。技术员选取连续区域，避免控制量微调造成读数跳变。
lim f(x,y)=f(x₀,y₀)多元连续仍是“极限等于点值”，但靠近方式更多。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
判断二元函数在一点的极限存在，最关键的要求是？
先作判断，再核对理由。