偏导数与全微分 · 沉浸式数学故事
只动一个旋钮
固定湿度只调温度，可以看清一个方向的影响；两个旋钮一起微调，就让全微分把两份影响加起来。
冻结湿度
只动温度，就沿曲面切出一条线。
把 y 固定为 y₀，z=f(x,y₀) 变成一元函数。其导数就是对 x 的偏导数。
fₓ(x₀,y₀)=limΔx→0 [f(x₀+Δx,y₀)−f(x₀,y₀)]/Δx求偏导时，其余自变量暂时当常数。
冻结温度
换一个旋钮，读到另一方向的斜率。
固定 x=x₀，只改变 y，得到 fᵧ。两个偏导分别描述坐标轴方向上的局部变化率。
fᵧ=∂z/∂y偏导数有方向，不代表所有方向的变化。
两个旋钮都动
小改变量叠在一起，输出先按线性相加。
温度改变 dx、湿度改变 dy 时，若函数可微，输出增量的主要部分由两项相加。
dz=fₓdx+fᵧdy每一项都是“该方向敏感度 × 该方向输入变化”。
误差余项
线性预测之外，还剩更高阶的小量。
全增量 Δz 与全微分 dz 不完全相等，但当 dx、dy 足够小时，余项相对总步长更快趋零。
Δz=dz+o(√(dx²+dy²))偏导存在不一定保证可微；可微是更强的局部线性条件。
温室速算
一次微调的后果，不用重跑整套模型。
技术员用两个偏导估算旋钮微调后的长势变化，再与实测值核对，快速排除高风险组合。
Δz≈fₓΔx+fᵧΔy量纲、基点与变化方向都要写清。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
求 ∂f/∂x 时，应如何处理 y？
先作判断，再核对理由。