多元复合函数与隐函数的导数 · 沉浸式数学故事
层层传导的成本
油价先推高运费，运费再推高到岸成本；若同一源头还走另一条路径，每条贡献都要算进去。
供应链 · 三层依赖
油价先动运费，运费再动到岸成本。
设油价为 x，运费 u=u(x)，到岸成本 z=z(u)。源头变化要沿依赖链逐层传到末端。
dz/dx=(dz/du)(du/dx)链上的局部变化率相乘。
多条路径
同一个源头，可能从两条路抵达结果。
若 z=f(u,v)，而 u、v 都依赖 x，油价既改变运费又改变附加费，两条贡献在末端相加。
dz/dx=fᵤ·du/dx+fᵥ·dv/dx沿每条路径相乘，再把所有路径求和。
两个源头
油价与汇率一起动，偏导分别追踪。
当 u=u(x,y)、v=v(x,y) 时，对 x 或 y 求导都要列出完整路径，不能漏掉间接依赖。
∂z/∂x=fᵤuₓ+fᵥvₓ先画依赖图，能显著减少漏项。
隐式关系
成本被约束式拴住，不必先把它彻底解开。
若 F(x,y)=0 给出油价与运费的平衡关系，对 x 求导并整理 y′，即可得到局部敏感度。
dy/dx=−Fₓ/Fᵧ（Fᵧ≠0）分母为零时，显式函数条件可能失效。
风险追踪
末端波动有多大，可以一路追到源头。
规划员把各环节敏感度代入，识别贡献最大的路径，并优先对那一环节做价格对冲。
源头 → 路径乘积 → 路径求和 → 末端敏感度链式法则既算数，也暴露系统结构。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
若 z=f(u,v)，且 u、v 都依赖 x，则 dz/dx 应怎样组合？
先作判断，再核对理由。