逆矩阵与初等变换与矩阵的秩 · 沉浸式数学故事
能撤销的操作
编码操作有没有“后悔药”，取决于信息变换能否被完整倒放；秩一旦掉下去，丢掉的信息就回不来了。
编码器 · 一次变换
消息向量进入 A，出来的是编码结果。
编码写成 y=Ax。若存在另一操作能把每个 y 唯一还原为 x，A 就可逆。
A⁻¹A=AA⁻¹=I逆矩阵是矩阵乘法意义下的撤销操作。
什么时候有后悔药
方阵不等于可逆，还要没有方向被压扁。
若不同输入被 A 变成同一输出，信息已合并，无法唯一恢复。可逆意味着零空间只有零向量，也意味着满秩。
n 阶方阵可逆 ⇔ r(A)=n行列式非零也是等价判据。
初等行变换
交换、倍乘、倍加，每一步本身都可撤销。
对增广块 [A|I] 做初等行变换。若左侧能化成 I，右侧就同步变成 A⁻¹。
[A|I] → [I|A⁻¹]行变换不改变矩阵的秩。
秩
阶梯形里非零行数，就是保留下来的独立信息数。
把矩阵化为行阶梯形，非零行的数量给出秩。秩小于变量维数，说明至少一个方向被压缩掉。
r(A)=非零行数秩同时等于最大非零子式的阶数。
成功倒放
可逆时逐步复原，失秩时谁也补不回细节。
社团先用满秩矩阵编码，再用求得的逆矩阵解码。测试每个消息都能唯一还原。
x=A⁻¹y求逆前先判断可逆，避免对不存在的对象硬算。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
n 阶方阵 A 可逆时，它的秩应为？
先作判断，再核对理由。