线性方程组的解 · 沉浸式数学故事
三种配料两种命运
三条营养约束压在两种原料上。行变换走到阶梯形，约束是会合、重合还是打架，一眼就能看出。
饲料配比 · 三约束
两种原料是未知量，三项营养标准组成三条方程。
把系数写成矩阵 A，把目标写成 b，系统统一表示为 Ax=b。
Ax=b未知量个数 n 与方程条数可以不同。
消元
初等行变换不改解集，只把关系说得更清楚。
对增广矩阵 (A|b) 做行变换，逐列消去，得到阶梯形。
(A|b) → 行阶梯形每一步对应对方程组做可逆的等价变换。
打架的约束
若最后出现 0=非零，整个系统立即无解。
这种矛盾行让增广矩阵多出一个独立约束，因此 r(A)<r(A|b)。
r(A)<r(A|b) ⇒ 无解无解不是计算失败，而是条件彼此不相容。
相容时的两种命运
秩等于未知数个数，解被唯一锁定。
若 r(A)=r(A|b)=n，有唯一解；若共同秩小于 n，就留下 n−r 个自由变量，有无穷多解。
r(A)=r(A|b)=n：唯一；<n：无穷多先比较两个秩，再与未知数个数 n 比。
重新配方
三个数定乾坤：系数秩、增广秩、未知数数。
规划员发现原标准矛盾，调整一项营养指标后系统变为相容，并根据自由度选择成本最低的配方。
r(A)，r(A|b)，n阶梯形既给解，也解释为什么有这种解的数量。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
若 r(A)<r(A|b)，线性方程组 Ax=b 有多少解？
先作判断，再核对理由。