原函数与不定积分的概念 · 沉浸式数学故事
从速度反推里程
救援车的黑匣子只留下速度曲线。要把它还原成里程，积分能找回变化，却会留下一个等待初始位置回答的常数。
山路救援 · 黑匣子
速度每秒都在变，里程表却已经损坏。
调度员只拿到速度 v(t) 的记录。已知位置函数 s(t) 的导数就是速度，任务因此变成：寻找一个导数等于 v(t) 的函数。
s′(t)=v(t)从变化率反推原量，就是求原函数。
反向追踪
求导把幂次降下来，积分就把它升回去。
若 v(t)=3t²，寻找 s′(t)=3t²。因为 (t³)′=3t²，所以 t³ 是一个原函数。
∫3t²dt=t³+C积分不是机械加一；还要除以新的指数。
平行的里程线
同一条速度曲线，可以来自不同起点。
t³、t³+5、t³−20 的导数都相同。求导会抹掉常数，因此不定积分必须把所有可能的常数差写成 +C。
若 F′=f，则 ∫f(x)dx=F(x)+C不定积分表示一族原函数，不是单独一条曲线。
初始位置归队
一条现场记录，把整族曲线锁成一条。
救援车在 t=0 时位于里程标 12 km。代入 s(t)=t³+C，得到 C=12，实际位置函数才被唯一确定。
s(0)=12 ⇒ C=12初值决定积分常数。
回放核验
把答案再求一次导，速度记录必须原样回来。
调度员对 s(t)=t³+12 求导，重新得到 3t²；再核对初值，确认路线回放无误。
(∫f(x)dx)′=f(x)不定积分的可靠验算，是求导加初值检查。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
∫4x³dx 的结果是？
先作判断，再核对理由。