第一换元积分法 · 沉浸式数学故事
旁边就站着它的导数
积分式里有一层复杂外壳，旁边却跟着内层的导数。认出这对搭档，整道题就能换成最熟悉的变量。
信号实验室 · 复杂外壳
余弦里面还藏着 x²，直接积分无从下手。
屏幕给出 ∫2x·cos(x²)dx。工程师先不展开，而是圈出被余弦包住的内层 x²。
∫2x·cos(x²)dx复合结构先找内层，再看旁边有没有它的导数。
搭档出现
内层是 x²，它的导数 2x 就站在旁边。
令 u=x²，则 du=2x dx。原积分中的 2x dx 可以整块替换为 du。
u=x²，du=2x dx换元要同时替换函数与微分。
换一条简单线路
旧变量暂时退场，积分只剩熟悉的 cos u。
完成替换后，复杂积分变成 ∫cos u du，直接得到 sin u+C。
∫cos u du=sin u+C若只换 x² 而忘记 2x dx，变量就没有换干净。
换回现场变量
答案要交还给 x，再把 u 的身份换回来。
代回 u=x²，得到 sin(x²)+C。对它求导会重新出现 cos(x²)·2x。
∫2x cos(x²)dx=sin(x²)+C回代后用链式法则验算。
识别口诀
内层、导数、微分块，三者对齐再换元。
面对 ∫f(g(x))g′(x)dx，可令 u=g(x)。若只差一个常数倍，先乘除补齐；若差的是变量结构，就不能硬套。
∫f(g(x))g′(x)dx=F(g(x))+C换元法是链式法则的逆向使用。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
计算 ∫3x²e^(x³)dx，最自然的换元是？
先作判断，再核对理由。