分部积分法 · 沉浸式数学故事
乘积的接力棒
多项式和指数函数一起出现，谁也不能整块换掉。把求导的接力棒交给会变简单的一方，乘积法则便能倒着跑。
训练场 · 双人接力
x 与 eˣ 并肩出现，普通换元找不到完整搭档。
要计算 ∫x eˣdx。令 u=x 会剩下 eˣdx；令 u=eˣ 又剩 xdx，单一换元无法把另一因子带走。
∫x eˣdx乘积型积分要考虑把一个因子求导、另一个因子积分。
倒放乘积法则
求导时两项相加，移项后就得到分部积分。
由 (uv)′=u′v+uv′，写成微分并积分，得到 ∫u dv=uv−∫v du。
∫u dv=uv−∫v du右侧减号来自移项。
交棒选择
把求导棒交给 x，它会从 x 变成 1。
取 u=x、dv=eˣdx，则 du=dx、v=eˣ。多项式求导后降次，指数函数积分后保持不变。
u=x，dv=eˣdx通常让 u 在求导后更简单，让 dv 容易积分。
完成一圈
边界外先留 uv，剩余积分已经变简单。
代入公式：∫xeˣdx=xeˣ−∫eˣdx=xeˣ−eˣ+C。
∫xeˣdx=eˣ(x−1)+C别漏 uv，也别漏第二项前的负号。
验棒
答案一求导，两项抵消只留下原乘积。
对 eˣ(x−1) 用乘积法则求导：eˣ(x−1)+eˣ=xeˣ。接力路线因此闭合。
[eˣ(x−1)]′=xeˣ分部积分正是乘积法则的逆运算。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
计算 ∫x cosx dx 时，通常怎样选择 u？
先作判断，再核对理由。