定积分的概念与性质 · 沉浸式数学故事
一小条一小条的账
堤坝监测图不是规则矩形，工程师把它切成许多窄条。每条先记一笔近似账，窄到极限时，总账就成为定积分。
河堤监测 · 不规则图形
曲线下面有多少面积，一把直尺无法直接回答。
工程师把区间 [a,b] 分割成若干小段，在每段选一点 ξᵢ，用函数高度 f(ξᵢ) 乘小段宽度 Δxᵢ，得到一条窄矩形的近似面积。
小条账：f(ξᵢ)Δxᵢ先分割，再取样，再求和。
把账相加
每一小条略有误差，总和却越来越贴近曲边区域。
把所有窄条相加得到黎曼和 Σf(ξᵢ)Δxᵢ。分割越细，最高与最低矩形之间的差距越小。
Σᵢ f(ξᵢ)Δxᵢ有限分割给近似和。
宽度走向零
最宽的小条也趋近零，取样位置不再左右结论。
当分割的最大宽度 λ→0，若所有合理分割与取样都趋向同一数，这个极限定义为定积分。
∫ₐᵇf(x)dx=limλ→0Σf(ξᵢ)Δxᵢ定积分是和式的极限。
有向面积
横轴上方记正，横轴下方记负。
定积分累计的是代数面积。曲线在横轴下方时，对应小条高度为负，因此会从总账中扣除。
∫ₐᵇf = 上方面积 − 下方面积几何总面积需要对 |f(x)| 积分或分段取绝对值。
账本性质
区间能拆，常数能提，顺序倒置就变号。
工程师按施工段拆分总账，并用线性性质合并不同监测指标。
∫ₐᵇf=∫ₐᶜf+∫𝚌ᵇf；∫ᵦᵃf=−∫ₐᵇf性质来自有向累积的定义。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
函数图像在横轴下方的一段，对定积分的贡献通常是？
先作判断，再核对理由。