微积分基本公式 · 沉浸式数学故事
累计表和速率表是一对
流量计记录每秒进水速度，水位表记录从开阀起累计多少。一个求积、一个求导，牛顿—莱布尼茨公式让两张表彼此校验。
泵站 · 两张表
一张记瞬时流量，一张记开阀后的累计水量。
流量为 q(t)。从时刻 a 到 x 的累计水量定义为 A(x)=∫ₐˣq(t)dt。上限 x 向前走，账本就继续增加。
A(x)=∫ₐˣq(t)dt积分把速率累积成总量。
上限挪一点
多出来的一小段账，近似是当前流量乘时间。
当 x 增加 Δx，A 的增量等于区间 [x,x+Δx] 上的积分。区间很短时，平均流量接近 q(x)。
ΔA/Δx≈q(x)局部小区间把累积变化率还原为被积函数。
基本定理第一面
累计函数一求导，瞬时速率原样出现。
若 q 连续，则由微积分基本定理，A′(x)=q(x)。
d/dx ∫ₐˣq(t)dt=q(x)积分变量 t 是哑变量，真正变化的是上限 x。
基本定理第二面
找到任一原函数，定积分只需算两端之差。
若 F′=q，则从 a 到 b 的累计量等于 F(b)−F(a)。这就是牛顿—莱布尼茨公式。
∫ₐᵇq(t)dt=F(b)−F(a)定积分结果不含 +C，因为两端相减会抵消常数。
仪表互检
速率积分成累计，累计求导回速率。
泵站用两张表互相检查：流量计积分应接近水量表增量；水量曲线斜率应接近流量计读数。
速率 ⇄ 累计基本定理连接了微分与积分。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
设 F′(x)=f(x)，则 ∫ₐᵇf(x)dx 等于？
先作判断，再核对理由。