定积分的换元法 · 沉浸式数学故事
限跟着变量走
定积分换了变量，区间边界也必须换身份。旧变量和新变量不能混在同一份账里，奇偶对称还能让路线更短。
标定实验 · 复合刻度
函数换成 u，两端刻度却还写着 x。
要计算 ∫₀¹2x(x²+1)³dx。内层 x²+1 与导数 2x 同时出现，适合令 u=x²+1。
u=x²+1，du=2x dx定积分换元不仅换被积式，也要换积分限。
下限先过闸
x=0 对应 u=1，旧下限换成新下限。
把原区间端点代入 u=g(x)：x=0→u=1，x=1→u=2。
[0,1]ₓ → [1,2]ᵤ积分限必须与当前积分变量一致。
全程只用新变量
变量与边界一起换完，可以直接算到终点。
原式变成 ∫₁²u³du。算出新变量下的定积分后，无需再回代 x。
∫₀¹2x(x²+1)³dx=∫₁²u³du若保留旧积分限，就必须先回代再代端点；两条路线不要混用。
方向可能翻转
新上限若小于新下限，顺序倒置会带来负号。
当 g 在区间上递减，端点映射可能反向。保留映射后的顺序即可，定积分会自动记录方向。
∫ᵝᵅ=−∫ᵅᵝ不要为了看起来从小到大而忘记补负号。
对称捷径
奇函数左右抵消，偶函数只算一半再翻倍。
在对称区间 [−a,a] 上，奇函数积分为 0，偶函数积分等于 2∫₀ᵃf(x)dx。工程师先看对称性，再决定是否换元。
奇：∫₋ₐᵃf=0；偶：∫₋ₐᵃf=2∫₀ᵃf对称性来自函数值与区间同时对称。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
定积分换元 u=g(x) 后，积分限应如何处理？
先作判断，再核对理由。