定积分的分部积分法 · 沉浸式数学故事
别丢边界项
不定积分里的 uv 到定积分中会变成一笔明确的边界账。括号若没在上下限各算一次，结果就会悄悄少掉整项。
审计室 · 一道乘积账
∫₀¹x eˣdx，仍要把求导棒交给 x。
选择 u=x、dv=eˣdx，于是 du=dx、v=eˣ。方法与不定积分相同，但上下限让 uv 变成明确的边界项。
u=x，dv=eˣdx先写选择，再写 du 与 v，能减少符号错误。
带边界的公式
uv 不再孤零零留下，它要在两端各记一笔。
定积分分部公式为 ∫ₐᵇu dv=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇv du。方括号表示上端值减下端值。
∫ₐᵇu dv=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇv du[uv]ₐᵇ=u(b)v(b)−u(a)v(a)。
红括号落账
先算边界，再减剩余积分。
本题得到 [xeˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx。第一项为 e，第二项为 e−1，因此结果是 1。
[xeˣ]₀¹−[eˣ]₀¹=e−(e−1)=1每一对方括号都必须执行“上减下”。
最常见漏项
只写 uv−∫vdu，却忘了 uv 也有上下限。
边界项不是不定积分中的 +C，也不是可省略的中间步骤。它记录分部转移时留在区间两端的贡献。
边界项：[uv]ₐᵇ定积分最终不写 +C。
审核清单
选棒、交棒、套边界、上减下、再核验。
审计员用数值估算确认结果为正且大小合理，再对照原函数端点复算。边界项被完整保留，账目闭合。
选择 u,dv → 求 du,v → [uv]ₐᵇ → −∫vdu符号、上下限和量级检查缺一不可。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
定积分分部公式中的 [uv]ₐᵇ 表示？
先作判断，再核对理由。