定积分的几何应用 · 沉浸式数学故事
两条曲线夹出的料
钣金边料被两条曲线夹住：先找交点定边界，再逐条计算“上减下”；曲线若中途换位，账也必须跟着分段。
钣金工位 · 异形边料
轮廓不方不圆，普通长乘宽失效了。
上边界 y=f(x)、下边界 y=g(x) 围出一块异形材料。师傅要求先算净面积，再决定能否下料。
区域：g(x)≤y≤f(x)几何应用第一步不是积分，而是把区域画清。
先找交点
两条曲线在哪里会合，积分限就在哪里落笔。
联立 f(x)=g(x)，得到左右交点 a、b。它们把封闭区域锁在区间 [a,b] 内。
f(x)=g(x) ⇒ x=a,b交点决定边界，不要从图上凭眼估计。
窄条累计
每条竖片的高度，就是上函数减下函数。
在 x 处取宽为 dx 的窄条，面积近似为 [f(x)−g(x)]dx；全部累积得到曲边区域面积。
A=∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]dx面积应非负，所以必须确认谁在上。
中途换位
曲线一旦交叉，同一条“上减下”就会记负账。
若区间内还有交点 c，就要在 c 处分段，分别判断上下关系；也可对差取绝对值。
A=∫ₐᶜ|f−g|dx+∫𝚌ᵇ|f−g|dx分段点来自边界关系改变。
绕轴成形
边料绕轴旋转，窄条扫出圆盘或圆环。
外半径 R(x)、内半径 r(x) 对应圆环截面，累积后得到旋转体体积。
V=π∫ₐᵇ[R²(x)−r²(x)]dx面积用长度差，圆环体积用半径平方差。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
在 [a,b] 上始终有 f(x)≥g(x)，两曲线之间的面积应写为？
先作判断，再核对理由。