广义积分 · 沉浸式数学故事
积到无穷还收得住吗
污染浓度一路衰减到看不见，但长期累计量未必有限。无穷不能直接代入，必须先截到有限位置，再让边界走远。
河口监测 · 长尾
浓度越来越低，尾巴却一直伸向远方。
环保组用 f(x) 描述污染物沿水道的浓度。虽然 f(x)→0，但累计总量 ∫₁^∞f(x)dx 是否有限仍需判断。
目标：∫₁^∞f(x)dx被积函数趋零只是必要背景，不是收敛保证。
先画有限边界
无穷不是一个数，不能当作普通上限代入。
先把水道截在 b 处，计算普通定积分 ∫₁ᵇf(x)dx，再研究 b→∞ 时的极限。
∫₁^∞f(x)dx:=limᵦ→∞∫₁ᵇf(x)dx先有限积分，后极限。
两种结局
极限若停在有限数，长期总量就被兜住。
极限存在且有限，广义积分收敛；极限不存在或无界，积分发散。
有限极限 → 收敛；否则 → 发散发散也可能由区间内的无穷间断点造成。
p 的分界线
同样趋向零，衰减速度决定结局。
经典尾积分 ∫₁^∞x⁻ᵖdx 在 p>1 时收敛，在 p≤1 时发散；p=1 的调和尾巴仍积不住。
∫₁^∞dx/xᵖ 收敛 ⇔ p>1比较判别常以 p 积分作标尺。
报告落款
看起来几乎归零，不等于长期影响可以忽略。
监测员先确认间断点与无限区间，再改写成极限，计算并解释收敛值的单位。
识别异常端点 → 改写极限 → 计算 → 判敛散结论必须说明是累计量有限，还是只说瞬时值趋零。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
广义积分 ∫₁^∞1/x² dx 的敛散性是？
先作判断，再核对理由。