定积分总复习 · 沉浸式数学故事
上帝的语言
面积、累计、原函数与无穷边界看似四条路，其实都在回答同一件事：连续变化怎样被切碎，又怎样重新汇成整体。
仰望星轨
自然没有写公式，变化却留下可以追踪的秩序。
学者从行星轨迹、流水与面积中看见共同问题：整体无法直接量出时，就把它切成微小部分。
整体 ≈ Σ 局部贡献积分的第一直觉是累计。
小片到极限
有限小片给近似，分割无限细才给定积分。
黎曼和让每个小区间贡献 f(ξᵢ)Δxᵢ；最大宽度趋零时，稳定极限定义定积分。
∫ₐᵇf=lim Σf(ξᵢ)Δxᵢ先认累计对象，再认符号。
两张表会合
速率累积成总量，总量求导又回到速率。
微积分基本定理把求导与积分连接：若 F′=f，则定积分只需计算 F(b)−F(a)。
∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)定积分不写 +C。
方法分路
复合式换元，乘积式分部，几何题先画区域。
换元要跟着改积分限；分部要保留边界项；面积与体积要先确定截面和符号。
结构 → 方法 → 边界 → 解释同一题可能需要分段或连续使用多种方法。
边界走向无穷
普通定积分的路走到尽头，再由极限接管。
无限区间或无界函数要改写为极限。复习时先判题型，再检查连续性、上下限、符号和单位。
面积—累计—公式—应用—广义一章的主线不是公式数量，而是累计逻辑。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
若 F′(x)=f(x)，则 ∫ₐᵇf(x)dx 应为？
先作判断，再核对理由。