微分方程基本概念 · 沉浸式数学故事
冷库里的回温曲线
凌晨断电后，冷库回温不是匀速的：温差越大，变化越快。技术员先写变化规律，再让初始读数从一族曲线里选出真实轨迹。
冷库报警 · 02:17
温度正在升，但每分钟升幅并不一样。
环境温度 Tₐ 高于库温 T。温差大时回温快，温差缩小时回温变慢。
变化率由当前状态决定微分方程描述未知函数与其导数的关系。
写成方程
不是先猜温度，而是先写它怎样变化。
牛顿冷却/加热模型可写为 T′=k(Tₐ−T)，k>0。右侧直接使用当前温差。
dT/dt=k(Tₐ−T)未知量是整条函数 T(t)，不是某一个温度值。
阶与解
最高阶导数是一阶，满足关系的函数才叫解。
把候选函数代回方程，若在区间内恒成立，它就是微分方程的解。
方程阶数：最高阶导数的阶解方程后必须代回检验。
一族回温线
同一变化规律，可以从不同初温出发。
通解通常带任意常数，例如 T=Tₐ+Ce⁻ᵏᵗ。不同 C 对应不同初始状态。
T(t)=Tₐ+Ce⁻ᵏᵗ微分方程给规律，通解给轨线族。
初值锁定
报警时刻的读数，从轨线族里选中唯一一条。
代入 T(0)=T₀ 得 C=T₀−Tₐ。技术员据此预测何时越过安全线。
T(0)=T₀ ⇒ T=Tₐ+(T₀−Tₐ)e⁻ᵏᵗ初值问题由方程加初始条件组成。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
微分方程的通解含任意常数时，通常由什么确定具体常数？
先作判断，再核对理由。