可分离变量与齐次微分方程 · 沉浸式数学故事
各回各家的两个变量
发酵罐里，菌量增速与菌量自身成比例。把 y 和 dy 放一边，把 t 和 dt 放另一边，两份积分各自完成后，指数增长便自然出现。
发酵罐 · 增殖
菌量越多，单位时间新增的也越多。
设菌量为 y(t)，早期资源充足时，增长率近似与当前菌量成正比。
dy/dt=ky先判断变量能否分居等号两侧。
变量分家
所有 y 回左边，所有 t 回右边。
在 y≠0 的区间上，将方程改写为 dy/y=kdt。
dy/y=k dt除以 y 时要单独检查被除掉的平衡解 y=0。
各自积分
左边只认 y，右边只认 t。
两边积分得 ln|y|=kt+C，整理后得到指数形式 y=Ceᵏᵗ。
∫dy/y=∫kdt ⇒ y=Ceᵏᵗ两个积分常数可合并为一个常数。
齐次入口
若右侧只看 y/x，就把这个比值请成新变量。
对 y′=F(y/x)，令 u=y/x，即 y=ux、y′=u+xu′，常能化为可分离方程。
u=y/x，y′=u+x du/dx“齐次”在这里指右侧依赖比值 y/x。
回到初值
分离、积分、回代，最后由现场读数定常数。
技术员用初始菌量求 C，并检查解的定义域、正负与增长方向。
判型 → 分离/换元 → 积分 → 初值 → 验算解式必须符合实际量不能为负等约束。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
方程 dy/dt=ky 分离变量后可写成？
先作判断，再核对理由。