一阶线性微分方程 · 沉浸式数学故事
持续注入的水箱
水箱一边持续输入染液，一边排出混合液。外来输入让系统不再自由衰减，积分因子把散开的两项重新并成一个乘积导数。
混合水箱 · 同进同出
染料在流入，混合液也在流走。
设箱内染料量为 y(t)。变化率等于流入染料速率减去流出染料速率。
y′=输入−输出建模时先守住“存量变化=流入−流出”。
标准形
把与 y 成正比的流出项移左，外来输入留在右边。
许多模型可整理为 y′+P(t)y=Q(t)，这就是一阶线性方程标准形。
y′+P(t)y=Q(t)线性指 y 与 y′ 只以一次幂出现，系数只依赖自变量。
积分因子
需要一把钥匙，把左边并成一个整体。
取 μ(t)=e^{∫P(t)dt}，则 μ′=Pμ；方程乘 μ 后，左边恰好是 (μy)′。
μ=e^{∫Pdt}，(μy)′=μy′+μPy指数形式来自乘积法则需要 μ′=Pμ。
一次积分
整体导数已经出现，两边积分就能解开。
由 (μy)′=μQ 得 μy=∫μQdt+C，再除以 μ。
y=μ⁻¹(∫μQdt+C)别在求出 μ 后忘记让整个方程乘上它。
自由与受迫
初始染料留下自由响应，持续输入形成受迫响应。
初值决定常数 C。技术员把两部分分别解释，并检查长期浓度是否趋向稳定值。
解=自由响应+受迫响应数学解还要满足守恒、非负和量纲。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
一阶线性方程 y′+P(x)y=Q(x) 的积分因子通常是？
先作判断，再核对理由。