常微分方程总复习 · 沉浸式数学故事
猎物与捕食者的舞蹈
野兔先增，猞猁随后追上；捕食者多了，猎物回落，捕食者又因缺粮下降。两种数量互相改写彼此的变化率。
雪原记录 · 两条周期线
野兔先到峰顶，猞猁总要晚一步。
毛皮记录显示猎物与捕食者数量周期波动且存在相位差，单独一条方程难以解释这种追逐。
x(t)：猎物；y(t)：捕食者先明确每个状态量及其相互作用。
耦合方程
猎物给捕食者食物，捕食者又压低猎物。
Lotka–Volterra 模型写成 x′=ax−bxy，y′=−cy+dxy。交互项 xy 同时进入两条方程。
x′=ax−bxy；y′=−cy+dxy系统中的每个导数都依赖多个状态。
相平面
不只看随时间起伏，也看两个数量怎样互相追赶。
把 (x(t),y(t)) 画在平面上，轨线形成闭合或近闭合回路；方向表示种群变化次序。
时间曲线 ↔ 相平面轨线同一系统可以有多种初始轨线。
本章分路
能分离就各归各家，线性方程找积分因子。
二阶常系数先看特征根；耦合系统先写状态关系。识型决定工具，初值决定具体解。
分离｜齐次换元｜一阶线性｜二阶特征根｜系统不要见到导数就套同一模板。
四步复盘
先识型，再求解；代初值，最后解释轨线。
研究员核对正负、平衡点、长期趋势和单位，把数学解重新翻译为生态关系。
识型 → 套路 → 初值 → 解释总复习的终点是会选择路线。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
求出含任意常数的微分方程通解后，初始条件主要用于？
先作判断，再核对理由。