常数项级数的概念与性质 · 沉浸式数学故事
逐期折旧加得拢吗
设备价值每期按同一比例递减。项数可以无限，累计折旧却可能停在有限数前——真正的“和”是部分和数列的极限。
资产台账 · 每期一笔
单期折旧越来越小，总账却会一直加下去。
把第 n 期金额记为 aₙ，无穷级数写成 Σaₙ。但符号并不等于已经有一个有限和。
Σₙ₌₁^∞aₙ先分清通项 aₙ 与累计部分和 Sₙ。
部分和
只加前 n 期，得到可以实际计算的 Sₙ。
定义 Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ。随着 n 增大，部分和形成一个新的数列。
Sₙ=Σₖ₌₁ⁿaₖ级数敛散由部分和数列决定。
把 n 推远
部分和若趋向有限 S，无穷级数才称为收敛。
若 limₙ→∞Sₙ=S，称级数收敛且和为 S；否则发散。
Σaₙ=S ⇔ lim Sₙ=S无穷项没有被一次加完，而是通过极限定义。
等比台阶
每期乘同一比例 q，|q|<1 时台阶会收住。
首项 a、公比 q 的等比级数在 |q|<1 时收敛到 a/(1−q)。
a+aq+aq²+⋯=a/(1−q)|q|≥1 时不能使用有限和公式。
第一道门槛
若 aₙ 连零都不趋近，累计一定发散。
级数收敛必有 aₙ→0；但反过来不成立，调和级数的项趋零却仍发散。
Σaₙ收敛 ⇒ aₙ→0通项趋零只是必要条件。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
等比级数 a+aq+aq²+⋯ 在什么条件下收敛？
先作判断，再核对理由。