正项级数及其审敛法 · 沉浸式数学故事
衰减得够不够快
多级筛检后，每一级漏检都更少，但“越来越少”仍不够。要判断累计风险，就得与已知标尺比较，或直接查看相邻两项的比例。
多级质检 · 漏检项
每级风险都为正，总风险只会越加越大。
把第 n 级漏检概率记为 aₙ>0。正项级数的部分和单调增加，是否收敛取决于它有没有上界。
aₙ≥0，Sₙ单调增加正项级数不会靠正负抵消。
拿标尺比较
与收敛级数一样小，就有机会一起收住。
若 0≤aₙ≤bₙ 且 Σbₙ 收敛，则 Σaₙ 收敛；若 aₙ≥bₙ≥0 且 Σbₙ 发散，则 Σaₙ 发散。
直接比较判别法不等式方向必须与所用结论一致。
两把常用标尺
几何项看比例，p 级数看幂次。
Σqⁿ 在 0<q<1 时收敛；Σ1/nᵖ 在 p>1 时收敛、p≤1 时发散。
几何级数｜p 级数把复杂项的主导衰减速度与标准级数对照。
比值法
相邻两项的极限 ρ，一眼看出指数级衰减。
若 ρ=lim aₙ₊₁/aₙ，则 ρ<1 收敛，ρ>1 或无穷发散；ρ=1 时判据失效。
ρ<1 收；ρ>1 发；ρ=1 换方法等于 1 不是发散结论。
判据不是彩票
先看结构再选方法，别把所有级数都塞进比值法。
含阶乘和指数常适合比值法；幂函数常适合比较或积分判别。质检员选对标尺后才下结论。
通项趋零 → 识结构 → 选判据 → 写结论每个判据都要核对正项与极限条件。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
正项级数比值法得到 ρ=1 时，应怎样处理？
先作判断，再核对理由。