任意项级数与交错级数 · 沉浸式数学故事
一正一负的对账
财务往来一收一付，金额逐笔缩小。正负抵消可以让账目稳定，但要先问绝对值能否收敛，再判断是否只是条件收敛。
往来账 · 收付交替
一笔收入一笔支出，符号开始影响累计。
任意项级数允许 aₙ 有正有负。交错级数常写为 Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ，其中 bₙ>0。
b₁−b₂+b₃−b₄+⋯正负抵消是新机制，不能照搬正项判据。
先看绝对值
若不靠抵消也能收住，原级数当然更稳。
若 Σ|aₙ| 收敛，则 Σaₙ 绝对收敛，并且原级数收敛。
Σ|aₙ|收敛 ⇒ Σaₙ绝对收敛绝对收敛比普通收敛更强。
莱布尼茨判据
金额单调减小并趋零，交错账就能抵得稳。
若 bₙ 单调不增且 bₙ→0，则交错级数 Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ 收敛。
bₙ↓，bₙ→0两个条件缺一不可。
条件收敛
原账能稳定，绝对值账却可能越加越大。
若 Σaₙ 收敛而 Σ|aₙ| 发散，称条件收敛；交错调和级数就是典型例子。
条件收敛：Σaₙ收敛，Σ|aₙ|发散先判绝对，再判交错。
误差有上界
截断后的剩余误差，不超过下一笔金额。
满足莱布尼茨条件时，用前 n 项近似级数和，余项绝对值不超过 bₙ₊₁。
|Rₙ|≤bₙ₊₁这让交错级数可以按精度要求决定计算项数。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
交错级数满足 bₙ 单调不增且 bₙ→0，可由什么判据断定收敛？
先作判断，再核对理由。