函数的幂级数展开与应用 · 沉浸式数学故事
用多项式顶一阵
传感器芯片算指数太慢，工程师先用几项多项式顶上。离展开点越近越可靠；能顶多远，要看收敛半径和余项。
标定芯片 · 算力告急
完整函数太慢，多项式却能快速加乘。
工程师希望在 x=0 附近用有限项多项式近似 eˣ，让传感器快速输出。
eˣ≈1+x+x²/2!+⋯近似要连同适用范围与误差一起说。
泰勒展开
函数在展开点的各阶导数，决定每一项系数。
在 x₀ 附近，泰勒级数形式为 Σ f⁽ⁿ⁾(x₀)(x−x₀)ⁿ/n!。
f(x)=Σₙ₌₀∞ f⁽ⁿ⁾(x₀)(x−x₀)ⁿ/n!x₀=0 时称麦克劳林展开。
收敛半径
替身不是处处有效，半径 R 画出有效射程。
幂级数在 |x−x₀|<R 内绝对收敛，在 |x−x₀|>R 外发散。R 常由比值法或根值法求出。
|x−x₀|<R半径只给开区间，端点要另查。
端点单审
落在 x₀±R 的两点，必须逐个代回原级数。
一个端点可能收敛，另一个可能发散；不能把比值法得到的等号情况直接带过。
收敛区间 = 内部 + 端点判定端点处常转化为 p 级数或交错级数。
截断误差
项数越多通常越准，但距离展开点同样重要。
工程师根据拉格朗日余项或下一项量级估算误差，在满足精度的最少项处停止。
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!近似结果必须标出误差控制。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
eˣ 在 x=0 处的前三项麦克劳林多项式是？
先作判断，再核对理由。