二重积分的概念与性质 · 沉浸式数学故事
一块板的总重
复合板密度处处不同，称一次总重看不出问题来自哪里。把板分成小格，用“局部密度×小块面积”累计，二重积分便落到材料台上。
材料实验室 · 密度不均
同一块板上，不同位置的单位面积质量不同。
用面密度 ρ(x,y) 描述位置 (x,y) 附近每单位面积的质量，板所占区域记为 D。
ρ=ρ(x,y)，(x,y)∈D二重积分同时沿两个方向累计。
分成小格
每一格足够小时，密度可近似看作常量。
将 D 分成小区域 Δσᵢ，在其中取样点 (ξᵢ,ηᵢ)，小格质量近似为 ρ(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ。
小格质量≈ρ(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ二维分割对应一重积分里的小区间。
求和取极限
网格越来越细，近似总重趋向稳定值。
对所有小格求和，并让最大直径趋零，极限定义二重积分。
m=∬ᴅρ(x,y)dσ被积函数决定每个小块的权重。
函数为一
每块只记面积，累计结果就是区域面积。
当被积函数恒为 1，∬ᴅ1dσ 等于 D 的面积；常数可提出，和差可逐项积分。
∬ᴅ1dσ=Area(D)二重积分具有线性。
区域可拆
复杂板可以分区加工，总重仍等于各区之和。
若 D 由不重叠区域 D₁、D₂ 拼成，则积分可分开相加；密度上下界还能给总重估计。
∬ᴅf=∬ᴅ₁f+∬ᴅ₂f拆分线不能重复计算有面积的重叠区域。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
∬ᴅ1dσ 表示什么？
先作判断，再核对理由。