二重积分的计算 · 沉浸式数学故事
竖切还是横切
不规则地块同样一块区域，竖切可能要分三段，横切却一次写完。遇到圆形边界再改用极坐标，但面积微元不能漏掉 r。
测绘图 · 先画区域
积分限不是抄出来的，它们来自区域边界。
把 D 画在 xy 平面上，标清交点与边界函数，再决定先积 y 还是先积 x。
先画 D，再定限内层积分变量对应每一刀的移动方向。
竖切
每条竖线从下边界进，到上边界出。
若 D={a≤x≤b，φ₁(x)≤y≤φ₂(x)}，则先对 y 积分，再对 x 累积。
∫ₐᵇdx∫φ₁(x)^φ₂(x) f(x,y)dy固定 x，检查一条竖线是否只穿过一段区域。
换成横切
竖切需要分段时，横切也许一刀到底。
把同一区域改写为 c≤y≤d、ψ₁(y)≤x≤ψ₂(y)，即可交换积分次序。
∫𝚌ᵈdy∫ψ₁(y)^ψ₂(y) f(x,y)dx交换次序要重新描述区域，不能只交换 dx、dy。
圆形边界
直角坐标写满根号，极坐标把圆变成常半径。
令 x=r cosθ、y=r sinθ。面积小块由扇形近似得到 dσ=rdrdθ。
dσ=r dr dθ雅可比因子 r 不能漏。
省事原则
选竖切、横切还是极坐标，看谁让区域与函数更简单。
测绘员比较分段数量、边界形式与被积函数对称性，选出计算最短的路线。
区域表达 + 被积函数结构 → 积分次序正确答案可以有不同积分顺序。
尾声 · 带着方法进课堂
故事落幕，判断才刚开始。
把这一课的条件、公式与易错点带进最后一次判断。
二重积分改用极坐标时，面积微元应写为？
先作判断，再核对理由。