教学项目

不定积分复习小结

授课地点

多媒体教室

授课形式

线下教学

学情分析

在前六次课中，学生已经系统学习了不定积分的全部基础内容。第1课建立了原函数与不定积分的概念；第2课掌握了15个基本积分公式和直接积分法；第3-4课学习了第一类换元积分法（凑微分法），掌握了线性替换、幂函数凑微分、三角函数凑微分、指数和对数凑微分等常见类型及系数调整技巧；第5课学习了第二类换元积分法，掌握了三角换元和根式换元；第6课学习了分部积分法，掌握了分部积分公式及其应用。

经过六次课的学习，学生已积累了较为丰富的积分计算经验，但也暴露出一些问题：（1）部分学生对不同积分方法的适用条件理解不够清晰，面对新题时不知道该选哪种方法；（2）基本公式的记忆出现遗忘和混淆；（3）计算过程中系数调整、回代变量、加常数C等细节容易出错；（4）对于需要综合运用多种方法的积分题目，解题思路不够清晰。

因此，在进入定积分学习之前，有必要进行一次系统的复习小结，帮助学生梳理知识体系、强化方法选择能力、纠正常见错误，为后续定积分的学习打下坚实基础。

根据教学计划，本课时为第13-14学时（累计14学时），下一课将开始学习定积分的概念。

教学目标

知识目标：

（1）系统梳理不定积分的完整知识体系，包括基本概念（原函数、不定积分定义）、基本性质（线性性质）、15个基本积分公式；

（2）系统回顾四种积分方法：直接积分法、第一类换元法 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f(g(x))g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=F(g(x))+C''$、第二类换元法、分部积分法 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$；

（3）掌握各种积分方法的适用条件和选择策略，能根据被积函数的结构快速选择合适的方法；

（4）熟练掌握积分计算的规范书写格式和验证方法。

能力目标：

（1）培养面对新积分题目时的分析能力——能迅速识别被积函数结构并选择恰当的积分方法；

（2）提高综合运用多种积分方法的能力——解决需要多步处理的复杂积分问题；

（3）强化计算准确性，减少系数调整、回代、遗漏+C等常见错误。

素质目标：

（1）通过系统回顾，培养知识归纳与整理的能力，体会数学知识体系的逻辑严谨性；

（2）通过综合练习，培养分析问题和解决问题的能力，增强数学学习的信心。

教学重点

1. 积分方法的识别与选择 面对一个不定积分问题，学生需要能快速判断应该使用哪种积分方法。这要求学生不仅掌握每种方法的操作步骤，更要理解每种方法的适用条件。本课通过系统对比和决策树的方式，帮助学生建立方法选择的直觉。

2. 基本积分公式的巩固 15个基本积分公式是所有积分计算的基础。经过前几课的学习，部分学生可能出现记忆模糊或公式混淆的情况。本课通过分组回顾和即时练习，帮助学生再次强化公式记忆。

3. 综合解题能力 通过精选的综合例题，训练学生将分析、选择、计算、验证等环节有机结合的能力。特别是对于需要多种方法配合使用的积分问题，培养学生的解题策略意识。

教学难点

及应对

难点：

1. 复杂积分的方法选择与综合运用——面对被积函数结构较为复杂的积分问题，学生往往不知如何下手。例如含有多种函数类型的乘积、需要先化简再选方法的情形等。需要通过典型例题的分析，帮助学生建立系统的分析思路。

2. 计算细节的准确把控——即使选对了方法，计算过程中的系数调整、符号处理、变量回代等细节问题仍然是出错的主要原因。需要通过易错点分析和对比练习来加强。

3. 知识体系的融会贯通——将六节课的零散知识点整合为一个有机的知识体系，理解各部分之间的联系，这对学生的归纳总结能力提出了较高要求。

应对策略：

1. 用知识结构图将全部内容可视化，帮助学生建立整体框架；

2. 通过方法对比表和决策树，将方法选择过程程序化，降低选择难度；

3. 精选易错题，通过正误对比分析，强化细节意识；

4. 设计综合练习，让学生在实践中体会方法选择和综合运用。

教学资源

多媒体课件（PPT）、板书

教学图片：知识结构总图、方法对比表、方法选择决策树、易错点总结图、解题流程图、课程知识衔接图

课堂练习题（综合复习题）

教学方法

讲授法：系统回顾不定积分的概念、公式和方法

对比法：将四种积分方法进行横向对比，突出各自特点和适用条件

图示法：通过知识结构图、决策树等可视化工具帮助学生建立知识框架

练习法：通过综合练习和易错题分析，检验和巩固复习效果

教学反思

本节课对不定积分的全部内容进行了系统复习，从知识体系梳理到方法选择策略，再到综合例题和易错点分析，形成了完整的复习链条。通过知识结构图和方法决策树等可视化工具，学生对不定积分的整体框架有了更清晰的认识。综合练习的反馈表明，大部分学生在方法选择上有了明显进步，但对于较复杂的综合性积分题目，计算准确率仍需提高。下节课将进入定积分的学习。

授课教师

（签字）

教研室主任

（签字）

教学单位审查意见

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

知识讲解（35 min）

一、复习导入（5分钟）

【教师】同学们，从第1课到第6课，我们系统学习了不定积分的全部基础内容。今天是一节复习课，我们要做的是：把这六节课的内容系统地串起来，形成一个完整的知识体系，同时强化大家的方法选择能力和计算准确性。

回顾：我们学过什么？

第1课：原函数与不定积分的概念——什么是不定积分？

第2课：15个基本积分公式与直接积分法——最基本的计算工具

第3-4课：第一类换元积分法（凑微分法）——处理复合函数的积分

第5课：第二类换元积分法——处理含根式的积分

第6课：分部积分法——处理两类函数乘积的积分

今天的目标：

（1）梳理知识体系，把零散的知识点连成网络；

（2）掌握方法选择策略——面对积分题，能快速选对方法；

（3）通过综合练习，提高解题的准确性和速度。

二、知识体系回顾（15分钟）

（一）基本概念

原函数定义：若 ${''F''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)=f(x)''$，则 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

不定积分定义：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''''=F(x)+C''$（F(x) 是 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数）

基本性质：

① $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''[f(x)''''\pm ''''g(x)'''']dx=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''''\pm ''''''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''g(x)dx''$

② $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''kf(x)dx''''=k''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(x)dx''$（k 为非零常数）

（二）基本积分公式速查

幂函数：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\alpha </ms>}}''dx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\alpha </ms><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">+1</ms>}}}{''\alpha ''''+1''}''+C''$（α≠-1）； $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{''x''}''dx''''=''''ln''''|x|+C''$

指数函数：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$； $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''''=''\frac{{''a''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}{''ln''''a''}''+C''$

三角函数：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''cos''''xdx''''=''''sin''''x+C''$； $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''sin''''xdx''''=-''''cos''''x+C''$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''sec''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''xdx''''=''''tan''''x+C''$； $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''csc''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''xdx''''=-''''cot''''x+C''$

反三角函数：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''''arctan''''x+C''$； $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}}''dx''''=''''arcsin''''x+C''$

（三）四种积分方法回顾

方法1：直接积分法

适用条件：被积函数经化简后可直接对照基本公式逐项积分。

操作步骤：化简 → 拆分 → 逐项查公式 → 合并 → 加+C。

方法2：第一类换元法（凑微分法）

适用条件：被积函数含有复合结构 f(g(x))·g'(x)。核心公式：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''f(g(x))g''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''(x)dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''f(u)du''''=F(u)+C''$（令 u=g(x)）

常见类型：线性替换(u=ax+b)、幂函数凑微分、三角/指数/对数凑微分。

方法3：第二类换元法

适用条件：被积函数含有根式或三角结构，难以用凑微分法处理。

操作：令 x=h(t)，则 dx=h'(t)dt，将积分转化为关于 t 的积分，计算后再回代 t=h${}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}$(x)。

方法4：分部积分法

适用条件：被积函数是两类不同函数的乘积。核心公式：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

选 u 的口诀：“反对幂指三”——反三角 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角函数，排在前面的优先选为 u。

三、方法选择策略（15分钟）

选择方法的一般思路：

第一步：先看能否直接积分。化简被积函数（展开、通分、三角恒等变换），看是否可以直接对照基本公式计算。

第二步：如果不能直接积分，观察是否有复合函数结构 f(g(x))·g'(x)，如果有，用第一类换元法。

第三步：如果含有根式结构（如 √(a²-x²)、√(x²+a²) 等），考虑第二类换元法。

第四步：如果被积函数是两类不同函数的乘积（如 xe^x、xlnx 等），考虑分部积分法。

典型例题分析：

例1 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x+5)dx''$。

分析：多项式，直接逐项积分即可。

解

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(3x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''-2x+5)dx''''=3''''\cdot ''''''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}}{''3''}''-2''''\cdot ''''''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}{''+5x+C=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}{''-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''+5x+C''$

例2 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$。

分析：令 u=1+x²，则 du=2xdx，被积函数含 xdx=(1/2)du，用凑微分法。

解

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''2xdx''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''du''}{''u''}''=''\frac{''1''}{''2''}''ln''''|u|+C=''\frac{''1''}{''2''}''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')+C''$

验证：$''[''\frac{''1''}{''2''}''ln''{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{''1''}{''2''}''\cdot ''''''\frac{''2x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=''\frac{''x''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$ ✓

例3 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''$。

分析：x 与 lnx 的乘积，不是凑微分能解决的，用分部积分法。

解 令 u=lnx，dv=xdx，则 du=(1/x)dx，$''v=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}$。

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''\cdot ''''''\frac{''1''}{''x''}''dx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''xdx''$

$''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''4''}''+C''$

验证：$''[''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''2''}''ln''''x-''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{''4''}{''+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=x''''ln''''x+''\frac{''x''}{''2''}''-''\frac{''x''}{''2''}''=x''''ln''''x''$ ✓

小结：三道例题分别演示了三种不同的方法选择：直接积分、凑微分、分部积分。关键在于观察被积函数的结构特征。

复习导入环节用简明扼要的方式回顾六节课的脉络，让学生快速进入复习状态，明确本节课的学习目标。

知识体系回顾通过结构图（fig01）将分散的知识点可视化，帮助学生形成整体认知。基本公式的快速复习采用分类呈现的方式，便于学生对照记忆。

四种方法对比（fig02）通过表格形式横向对比，突出各方法的适用条件和核心操作，帮助学生理解方法之间的区别和联系。

方法选择策略部分给出决策树（fig03），将选择过程程序化，降低学生的选择难度。三道典型例题分别对应三种不同方法，通过实际操作强化方法选择的能力。

课堂测验

（10 min）

【教师】下面做综合积分计算练习，重点考查方法选择和计算准确性。

练习1：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$。（先判断用什么方法）

解 直接积分法，$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-2</ms>}}''dx''''=''\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-1</ms>}}}{''-1''}''+C=-''\frac{''1''}{''x''}''+C''$

练习2：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''x''''cos''''xdx''$。

解 凑微分法，令 u=sinx，du=cosxdx：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''x''''cos''''xdx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''du''''=''\frac{{''u''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}}{''4''}''+C=''\frac{{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}''x''}{''4''}''+C''$

验证：$''[''\frac{{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">4</ms>}}''x''}{''4''}{''+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{''4''{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''x''}{''4''}''\cdot ''''''''cos''''x=''{''sin''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''x''''cos''''x''$ ✓

练习3：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$。

解 分部积分法，令 u=x，dv=e^(-x)dx，则 du=dx，v=-e^(-x)：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''{''=-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}'')dx''{''=-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''dx''$

${''=-xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+C=-(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}''+C''$

验证：${''[-(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''+(x+1)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">-x</ms>}}$ ✓

【教师】讲评要点：练习1考查基本公式的直接应用；练习2是经典的三角函数凑微分类型；练习3是分部积分法的典型应用。三道题分别对应三种不同方法。

三道练习分别对应直接积分、凑微分、分部积分三种方法，重点考查学生的方法选择能力。

每道题先让学生判断方法再进行计算，训练分析→选择→计算的完整流程。

配有求导验证步骤，持续强化验证习惯。

第二节课

知识讲解

（30 min）

四、进阶综合例题（15分钟）

【教师】下面来看几道需要综合运用多种技巧的积分题目：

例4 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}{{''1+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}''dx''$。

分析：分母含 1+e^x，令 u=1+e^x，则 du=e^xdx。分子恰好是 e^xdx=du。

解

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}{{''1+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}''dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''du''}{''u''}''=''''ln''''|u|+C=''''ln''{''(1+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}'')+C''$

验证：$''[''''ln''{''(1+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{'')+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}{{''1+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}}$ ✓

例5 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$。（需要两次分部积分）

解 第一次：令 u=x²，dv=e^xdx，则 du=2xdx，v=e^x：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-2''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$

第二次：对 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''$，令 u=x，dv=e^xdx：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C''}_{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms>}}$

代入得：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''dx''{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-2(xe''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''-e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{'')+C=(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x+2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''+C''$

验证：${''[(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x+2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}{''=(2x-2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''+(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''-2x+2)e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}{''=x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}$ ✓

例6 求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{''sin''''x''}''dx''$。（即 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''csc''''xdx''$）

分析：这是基本公式之一，也可用凑微分法推导。

解 分子分母同乘 cscx-cotx：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''csc''''xdx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''csc''''x(''''csc''''x-''''cot''''x)''}{''csc''''x-''''cot''''x''}''dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''csc''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''x-''''csc''''x''''cot''''x''}{''csc''''x-''''cot''''x''}''dx''$

令 u=cscx-cotx，则 $''du=(-''''csc''''x''''cot''''x+''{''csc''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''x)dx''$，

$''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''du''}{''u''}''=''''ln''''|u|+C=''''ln''''|''''csc''''x-''''cot''''x|+C''$

五、易错点专题分析（10分钟）

易错点1：遗漏积分常数 +C

不定积分的结果是一族函数，必须包含任意常数 C。评分中，遗漏 +C 一定会扣分。

易错点2：凑微分时系数调整错误

错误示例：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''cos''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')dx''''=''''sin''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')+C''$ ✗

正确做法：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''cos''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')dx''''=''\frac{''1''}{''2''}''sin''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')+C''$ ✓

原因：令 u=x² 时 du=2xdx，需补系数 1/2。

易错点3：分部积分中 u 和 dv 选择不当

例如 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''ln''''xdx''$，若选 u=x, dv=lnxdx，则 v 的积分比原来更复杂。

正确选择：u=lnx（对数优先选为u），dv=xdx。

易错点4：积分后忘记回代变量

无论第一类还是第二类换元法，最终结果必须用原始变量 x 表示，不能包含中间变量 u 或 t。

易错点5：将含 x 的因子提出积分号

严重错误：$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''''xdx''''=x''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''sin''''xdx''$ ✗✗✗

只有常数因子才能进出积分号！这类积分应使用分部积分法。

六、综合方法选择练习（5分钟）

【教师】下面给出几个积分，请同学们先判断应该用什么方法，不需要算出结果：

① $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms>}}''+2x-1)dx''$ → 直接积分法

② $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''''sin''{''(x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}'')dx''$ → 凑微分法（u=x²）

③ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\sqrt{{''1-x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$ → 第二类换元法（x=sint）

④ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''sin''''xdx''$ → 分部积分法（两次）

⑤ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''ln''''x''}{''x''}''dx''$ → 凑微分法（u=lnx）

⑥ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$ → 分部积分法（循环型）

关键总结：方法选择的核心在于“看结构”——多项式看直接法，复合结构看凑微分，根式看换元，乘积看分部。

进阶例题选择了凑微分的典型应用（例4）、两次分部积分（例5）和公式推导型（例6），展示不同层次的综合运用能力要求。

易错点专题分析（fig04）通过5类常见错误的正误对比，帮助学生在复习阶段集中纠正不良习惯。这种“错误先行”的教学方式比单纯讲正确做法更有效。

方法选择练习采用“只判断不计算”的形式，专注训练方法识别能力，避免计算过程干扰对方法选择的关注。六道题覆盖了全部四种方法。

课堂测验

（10 min）

【教师】最后进行课堂检测，综合考查本节复习课的掌握情况。

检测1：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$。

解 恒等变形：$\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''=1-''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''(1-''\frac{''1''}{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}'')dx''''=x-''''arctan''''x+C''$

检测2：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''\sqrt{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$。

解 凑微分法，令 u=1+x²，du=2xdx：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''x''\sqrt{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''''=''\frac{''1''}{''2''}\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\sqrt{''u''}''du''''=''\frac{''1''}{''2''}''\cdot ''''''\frac{{''u''}^{\mathrm{<mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}}{\frac{''3''}{''2''}}''+C=''\frac{''1''}{''3''}{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}''+C''$

验证：$''[''\frac{''1''}{''3''}{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">3</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}{''+C]''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">\prime </ms>}}''=''\frac{''1''}{''3''}''\cdot ''''''\frac{''3''}{''2''}{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<mfrac><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">1</ms></mrow><mrow><ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms></mrow></mfrac>}}''\cdot ''''2x=x''\sqrt{{''1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$ ✓

检测3：求 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$。（循环型分部积分）

解 设 $''I=''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''$，令 u=cosx，dv=e^xdx：

${''I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''x+''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$

对 $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''$，再次分部积分，令 u=sinx，dv=e^xdx：

$\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''xdx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''''xdx''{''=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-I''$

代入得：${''I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''cos''{''x+e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''sin''''x-I''$，解得 ${''2I=e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''cos''''x+''''sin''''x)''$

$''I=''\frac{{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">x</ms>}}''(''''cos''''x+''''sin''''x)''}{''2''}''+C''$

【教师】讲评：检测1考查恒等变形后直接积分；检测2考查凑微分法配合幂函数积分；检测3考查循环型分部积分法。这三道题综合考查了不同积分方法的运用。

三道检测题的难度呈递进关系：恒等变形+直接积分（检测1）→ 凑微分+系数调整（检测2）→ 循环型分部积分（检测3）。

特别是检测3的循环型分部积分（两次分部积分后回到原积分，解方程得结果），是不定积分中较难的题型，用于检测学生的综合掌握水平。

课堂小结

（5 min）

【教师】最后做一个完整的总结：

一、不定积分知识体系总览：

概念基础：原函数 → 不定积分定义 → 基本性质（线性性质）

计算工具：15个基本积分公式 + 4种积分方法

验证保障：对结果求导，检验是否等于被积函数

二、四种方法适用条件速查：

直接积分法：被积函数可化简为基本公式形式

第一类换元法：含复合结构 f(g(x))·g'(x) → 令 u=g(x)

第二类换元法：含根式/三角结构 → 令 x=h(t)

分部积分法：两类函数乘积 → $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''udv''''=uv-''\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}''vdu''$

三、防错要点：

（1）不定积分结果必须加 +C；

（2）凑微分注意系数调整；

（3）换元后必须回代变量；

（4）只有常数因子能进出积分号；

（5）做完一定求导验证。

作业布置：

综合复习题（要求写出方法选择理由和完整计算过程）：

① $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''1''}{\sqrt{''2x+1''}}''dx''$ ② $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}''ln''''xdx''$ ③ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''xdx''}{{''(1+x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}{'')''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}$

④ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}{''e''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2x</ms>}}''sin''''3xdx''$ ⑤ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''ln''''x''}{{''x''}^{\mathrm{<ms\; style="font-family:\; \text{'}Cambria\; Math\text{'};">2</ms>}}}''dx''$ ⑥ $\underset{<mn></mn>}{\overset{<mn></mn>}{\int }}\frac{''dx''}{\sqrt{''x''}''(1+x)''}$

预习提示：

下节课将进入定积分的学习。请同学们思考以下问题：

（1）如何用面积的概念来理解积分？

（2）不定积分与定积分之间有什么联系？

请预习教材定积分概念与性质的相关内容。

通过课程知识衔接图（fig06）让学生看到不定积分在整个微积分课程中的位置，理解本课复习的承前启后作用。

知识体系总览将概念、工具、方法、验证四个层面系统归纳，帮助学生构建完整框架。

作业设计覆盖全部四种方法：线性替换（①）、分部积分（②⑤）、凑微分（③）、循环分部积分（④）、第二类换元（⑥）。难度适中偏上，用于检测复习效果。

预习任务指向定积分概念，通过面积问题激发思考，帮助学生带着问题进入新知识的学习。

教学反思

本节课对不定积分的全部内容进行了系统的复习小结，以下是教学效果的具体分析：

（1）知识体系梳理：通过知识结构图和分类回顾，约90%的学生能对不定积分的知识体系形成较清晰的整体认识。部分学生反映，这种可视化的知识梳理方式帮助他们理清了之前模糊的概念关系。

（2）基本公式回顾：通过分组快速复习，约80%的学生能正确回忆起全部15个基本积分公式。其中幂函数、指数函数公式记忆最牢固，反三角函数相关公式（如 ∫1/(1+x²)dx）的记忆相对薄弱，需要继续加强。

（3）方法选择能力：方法选择练习的结果显示，约75%的学生能在不进行计算的情况下正确判断积分方法。直接积分法和凑微分法的识别率最高（约90%），第二类换元法和循环型分部积分的识别率较低（约60%），需要在后续练习中加强。

（4）综合例题：例4（凑微分）和例5（两次分部积分）的课堂完成率较高（约80%），但检测3的循环型分部积分完成率约为55%，说明这一题型仍是学生的薄弱环节。

（5）易错点分析：通过正误对比的方式分析常见错误，学生反响较好。课后调查显示，“遗漏+C”和“忘记系数调整”是出错最多的两类问题，课堂强调后学生的警觉性明显提高。

（6）改进方向：① 可以增设课前小测，在复习前先摸底学生的薄弱环节，使复习更有针对性；② 方法选择练习可以设计成小组讨论的形式，增加互动性；③ 对于循环型分部积分等难点，可以在习题课中安排专项练习；④ 可以提供一份不定积分的知识手册或公式速查卡，方便学生课后复习。